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DKUXIÈMK PAHTIK.

courbe. Pour ces points, l’ordonnée comptée à partir du diamètreest nulle, donc les abscisses de ces points sont données par l’équa-tion

[ 1 ]

( 1

= 0 .

Représcntons-en les racines par x' et x" ; et comme ces deux ra-cines peuvent être réelles et inégales, ou réelles et égales, ou ima-ginaires, examinons successivement ces trois cas.

235. 1" cas. x et x" étant des quantités réelles et inégales, ils’ensuit que la courbe a en effet deux points placés sur le diamètre.Supposons, pour mieux fixer les idées, x et x" positifs, et x'moindre que x" ■. si on veut construire les points placés sur le dia-mètre, on prendra AB = x', AB'=.r", on mènera, par les pointsIl et B', les droites CD, C'D', parallèles à l’axe des y, et les inter-sections de ces lignes avec HH' détermineront les points H et H',où le diamètre rencontre la courbe.

Représentons, comme on en est déjà convenu (227), par Y l’or-donnée comptée à partir du diamètre, nous aurons

Afin de saisir plus facilement la marche de cette ordonnée,quand on fait passer x par tous les états de grandeur , décompo-sons en facteurs le polynôme placé sous le radical. Puisque x' etx" sont les racines de l’équation [1], il s’ensuit que le polynôme

x 3 — x — ~ est le produit des facteurs x — x'x — x" : par

à à

conséquent on a

Y= — 1/ [x— x') {x"—x ).

Cela posé, il est clair que, de A en B, l’abscisse x est plus petiteque x' et x" ; donc le facteur x — x' est négatif, tandis que le fac-teur x"—x est positif ; donc Y est imaginaire; donc il n’existe au-cun point de la courbe entre l’axe A y et la parallèle CD menée parle point B.

De B en B', x est plus grand que x' et moindre que x". Alorsles facteurs x — x\ x" —x, sont positifs, et par suite Y est réel;donc à chaque abscisse AP, comprise entre ces limites, il corres-pond deux points de 1 ellipse.