GEOMETRIE ANA1.YTIQCE A DEUX DIMENSIONS.

Au delà de B', jusqu’à l'infini, x surpasse x" et x', le facteurx — x' est positif, mais le facteur x "—x est négatif; donc Y estimaginaire; donc l’ellipse n’a aucun point au delà de la ligneC'D', menée parallèlement à Ay par le point B'.

Du côté Ax', l’abscissex est négative. Le facteur x—x'seradoncnégatif, tandis que x'—x sera positif ; donc Y sera imaginaire 1 ,et l’ellipse n’aura aucun point du côté des x négatifs.

L’ellipse est donc placée tout entière entre les parallèles CD,C'D' ;■ et comme les valeurs de. x, pour lesquelles Y r est réel, sontcomprises entre x et x", et que d’ailleurs Y ne peut devenir infinipar aucune de ces valeurs, il s’ensuit que l’ellipse est limitée danstous les sens, ce qu’on savait déjà (- 228 ).

Mais on peut aussi déterminer d’une manière précise les limitesde l’ellipse parallèlement au diamètre. Remarquons que les deuxfacteurs qui sont sous le radical, étant ajoutés ensemble, donnentune somme x "—x qui ne change point quand x varie, et que parconséquent le produit (x — x') (x"—x) sera le plus grand possible,quand chaque facteur sera égal à la moitié de cette somme, c’est-à-dire à - (x"—x'). Je pose donc

x—x'=;(x"—x'), d’où x = x'-\-\{x" —x') = ^(x''-j-x') ;et cette valeur de x sera l’abscisse pour laquelle Y est maximum.Elle répond visiblement au milieu E de BB'; car on a AE =AB-|--BE=x'-f-7(x ’—x'). La valeur de ce maximum est

iï(x" —x')

x) X z [x 1

Pour avoir les points correspondants de. la courbe, on inèneEOparallèle aux ordonnées, et on prend sur cette ligne, de chaque

$ ( — JÇ? \

côté du diamètre, OG=OG'=-—-= les points G et G'se-

ront ceux où l’ellipse s’éloigne le plus de HH'. Si on tire GK etG'K' parallèles à HH', ces lignes serviront de limites à la courbe ;de telle sorte que les quatre droites CD, C'D', GR, G'K', formentun parallélogramme qui renferme toute la courbe, et dont les côtésont leurs milieux sur cette courbe même (*).

O On peut écriie Y sous cette forme