fSÏ DEUXIÈME PARTIE.
Si on donne au diamètre une position particulière, si on prendpour S, A, x' et x", des valeurs numériques, et si on construit lacourbe par points suffisamment rapprochés, on trouve qu’elle ala forme indiquée fig. 86. On est certain d’ailleurs qu’elle doit élrepartout concave vers le diamètre: : car en admettant qu’elle eûtune autre forme (fig. 87), on pourrait tracer une ligne droite,telle que RS, qui la rencontrerait en plus de deux points, cequi ne peut pas arriver à une ligne de second ordre (199).
236. 2 e cas. Lorsque les racines x' et x" sont réelles et égales,l’ordonnée Y devient
Y = —V2 A
-{x—x'f
o ix—x
2A
—l.
La seule abscisse qui puisse rendre Y réel est 'x=x' ; par consé-quent l’ellipse se réduit au point unique dont les coordonnéessont x=x', ax'-\-b.
237. 3 e cas. Enfin, quand les racines x et x" sont imaginaires,on sait que le polynôme nx 1 -j- -2px -)- q , qui se trouve sous leradical, ne peut jamais changer désigné, quelque valeur qu’onprenne pour x. D’ua autre côté, il est démontré que des valeursde x suffisamment grandes doivent donner à ce polynôme des
et alors on voit immédiatement que sa valeur maximum répond à x^=z
Cette valeur de x équivaut à [(x't+x') : car on sait que dans l’équation [i]la somme des racines est égale au coefficient du second terme , pris avec unsigne contraire.
Soit pris l£P = KP , = p: on aura AP= —— p, AP'= — -f-p. En sub-
stituant ces abscisses à la place de x , on aura pour Y la même valeur; donc,pour ces abscisses , les ordonnées QM , QN, Q'M', Q'N', comptées à partirdu diamètre, sont égales. De là on conclut que les triangles OQM, OQ'N',sont égaux, et par suite que MON' est une ligne droite divisée en deuxparties égales au point O : c’est-à-dire que le point U est le milieu de toutesles droites menées par ce point dans l'ellipse. Cette propriété a fait donnerau point O le nom de centre.
L’égalité des mêmes triangles prouve que la corde MM', parallèle à HH',est coupée en son milieu par la ligne GG'; et comme il en est de mêmede toutes les cordes parallèles à HH', il s’ensuit que GG' est un diamètre.Ainsi, les deux diamètres HH' et GG' sont tellement disposés que chacund’eux passe par les milieux des cordes parallèles à l’autre : pour cette raisonon les nomme diamètres conjugués .