GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 189

Le dénominateur D—Bz devient nul et Y est infini en faisant

z=5 ; donc si on porte cette valeur de A en K , du côté A.r',

et qu’on mène LKL' parallèle à A,y, la droite LKL' ne rencontrerapas la courbe, ou du moins ne la rencontrera qu’à l’infini. Si ondonne à z des valeurs croissantes depuis zéro jusqu’à AK, Y seratoujours positif, et augmentera depuis GG jusqu’à l’infini : cela dé-termine un nouvel arc hyperbolique CR', qui est comme le prolon-gement de l’arc CR, et qui se rapproche continuellement de la li-gne KL à mesure qu’il s’éloigne de la droite HII', sans qu’on puisseassigner aucune limite à ce rapprochement.

Si on donne à z une valeur AE>AK, Y sera négatif; donc lepoint F, qui répond à cette abscisse, sera situé au-dessous de laligne HH'. En faisant décroître z depuis AE jusqu’à AK, V aug-mente négativement depuis ÜF jusqu’à l’infini ; et en faisant croîtrez depuis AE jusqu’à l’infini, V diminue jusqu’à zéro tout en res-tant négatif. Donc, de chaque côté du point F, il existe deux arcshyperboliques indéfinis, FS'et FS, dont l’un s'approche indéfini-ment de la droite KL', et l’autre, de là droite GH'.

Les droites HH' et LL', qui sont données par les équations

y — rx -f- s et x = — , approchent indéfiniment de l’hyperbole

sans jamais la rencontrer : cette propriété remarquable leur a faitdonner le nom d 'asymptotes. La partie OH est asymptote de l’arcCR, et la partie OH' est asymptote de l’arc FS. Pareillement leslignes OL et OL ' sont asymptotes des arcs CR' et FS'.

11 a été supposé, dans ce qui précède, qu’en faisant la divisionindiquée dans la valeur de y déduite de l’équation [B], le restern’était pas nul. Supposons maintenant t = 0 : alors on a—Cx 2 — Ex— F = ( rx + s) ( B x + D).

Par suite l’équation [B] peut s’écrire ainsi

(B-r-j-D) y— (rj?-|-s) (B-r + D) = 0,ou encore de cette manière

(Bx-)-D) (y — rxf—s)=0,et il est évident qu’on y satisfera, soit en posant

D