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soit en posant

DEUXIÈME PARTIE.

y — rx —s=0 d’où y—rx-\-s.

Do là on conclut que, daus le cas dont il s’agit, l’équation [13] re-présente deux droites, dont l’une est parallèle à l’axe des y.

Il resuite de la discussion qui vient d’être faite que, dans le casoù l’équation du second degré manque du carré y'\ sans toutefoismanquer du rectangle xy , elle représente ou une hyperbole quia deux asymptotes dont l’une est parallèle à l’axe des y, ou deuxdroites dont l’une est parallèle à cet axe.

244. Il est clair que si l’équation manquait du carré x% et nondu carré y', elle donnerait ou une hyperbole qui aurait une asymp-tote parallèle à l’axe des x , ou bien deux droites dont l’une seraitparallèle à cet axe.

245. Si les deux carrés manquent, l’équation doit donner unehyperbole qui ait deux asymptotes respectivement parallèles auxdeux axes, ou bien deux droites parallèles à ces axes. C’est eneffet ce qu’on déduirait de l’équation li xy -j-P> -f- Ex -f-1~0, enlui appliquant les raisonnemenls du n° 243.

Asymptotes de l’hyperbole en généra!.

246. Lorsqu’une branche de courbe est inünie, une droite quien approche indéfiniment, sans jamais la rencontrer, se nommeasymptote. D’après cette définition, les asymptotes sont faciles àdéterminer. Voici comment M. Cauchy a présenté celte recherchedans ses leçons d’Analyse.

Soit CR (fig. 92) une branche de courbe, et GII son asymptote,que nous supposons n’être point parallèle à l’axe hy ; et soientMP, WP, des ordonnées quelconques de ces lignes, correspondantà une même abscisse AP. Il faudra que la distance MN deviennetrès-petite pour de très-grandes valeurs de x , et même qu’elle seréduise à zéro quand on fera x infini ; donc, si l’équation de l’a-symploteest

y=cx-\-tl,

il faut qu’on puisse tirer de l’équation de la courbe une valeurde y, dont la différence avec cx-\-cl devienne nulle quand x estinfini Celte valeur peut donc se mettre sous la forme

>•= t\rV,