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'deuxième partie.

Exemple IJI (flg. 97). y’—2tcy -J-6x*— 2y— 28.r-}-46 = 0.

De là on tire y=x-\-i±V' —5o. a -f 30x—45 ;

et en posant — 5x 2 30x—45 = 0, on trouve deux racineségales à 3. Comme d’ailleurs le coefficient de x 1 est négatif, on con-clut que l’équation proposée représente un point seulement (236).Et en effet, les valeurs de y pouvant s’écrire ainsi •

y = x-j-i±(x— 3)\/—5,

il est évident qu’elles ne peuvent être réelles que pour la seuleabscisse x = 3, à laquelle correspond jr = 4.

Dans ce cas, l’équation proposée est la somme de deux carrés :en effet, il est clair d’abord qu’elle revient à celle-ci

[y—X— 1—(•£— 3)\/— 5] [y—x— lj-j-(.r—3)v/—5]=0;

ou bien, en remarquant que le premier membre est le produit dela somme de deux quantités par leur différence,

(jr——l) a -|-5(a7—3) a =0.

Sous cette forme, on voit bien qu’on n’y peut satisfaire qu’enégalant à zéro, en même temps, chacun des deux carrés, ce quidonne ^=3 et y — \ , comme plus haut.

Exemple IV. y 1 — 2xy-\-2x 2 —2y-t-3 = 0. \

Ici, on a y = x-j-îdz\/ — x 2 -j-2x— 2;

puisonpose— x 2 -f-2x—2=0, d’où et comme

ces racines sont imagiuaires, on conclut que l’équation proposéeest impossible (237). Pour mettre ce résultat en évidence dansl’équalion même, on remarque d’abord que

— x 2 ~\-2x — 2= —(j^I— \/ —1) (x. —1-|~V/—1)=— [x— 1)’—1,et que par suite la proposée revient à

\y—x — l — V—{x—iY—\\ [y — x —1-j-l/—(■*■—1) J —l] =0,ou bien à

(y—x — l) a -f-(.r—l) a -(-l = 0,

équation évidemment impossible : car la somme des trois carrés,dont l’un est une quantité constante, ne peut jamais être nulle,quelque valeur réelle qu’on donne à x.