205

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

258. Exemples dans lesquels on a B a —4AC = 0.

ExempleI (fig. 104). j y a -|-2.rK4-x a -4-4 l /4-3.r-|-3:=0.

Cette équation donne y = — x — 1±\/ x-\-i ;

et comme le radical renferme la première puissance de x, sansle carré x\ on doit avoir une parabole (251). Le diamètre estdonné par l’équation y= — x —2: il rencontre les axes en deuxpoints I, I', aux distances AI = 2, AI'=2.

En faisant croître x positivement de zéro à l’infini, le radicall/x+1 est réel et augmente indéfiniment à partir de l’unité.Ainsi sont déterminés les arcs FS et F'S', qui coupent l’axe des xaux points F et F', construits en prenant IF=IF'=1.

Si x croît négativement jusqu’à l’unité, l/x-\-i diminue jusqu’àzéro; donc, en prenant AB = 1 et menant BC parallèle à Ay, celteparallèle coupera le diamètre au point C, où viennent se réunirles deux arcs de la parabole. Ils ne vont pas au-delà de BC : carles abscisses négatives > 1 rendent le radical imaginaire.

La parabole ne rencontre point l’axe des x : car en faisant y = 0dans l’équation proposée, il vient x 1 -f-3 x -f- 3 = 0, d’où l’on tireles valeurs imaginaires x ——| ± 1/—|.

Exemple II (fig. 105). y 3 -h 2xy -f- x 2 —4 y — 3x-j-4=0.

De là on tire y= —x-(- 2zt [/— x ■.

alors la parabole et son diamètre sont placés comme on le voit dansla figure.

Exemple III (fig. 106). x* — 3x-\-2y-{-i=0.

On peut résoudre cette équation par rapport à y ; mais on peutaussi la traiter comme les exemples précédents, en changeant dansles raisonnements x cii^k et y eu x. On trouvera le diamètre Hll'et la parabole SCS'.

Exemple IV. y' — 2xr+x a + 2v— 2x — 3 = 0.

Celte équation donne y =x —1 ± [/4=x— 1 ±2,c’est-à-dire y=x-j- 1 et y=x —3:

ces valeurs déterminent deux droites parallèles. Dans ce cas, l’é-quation proposée a pour premier membre le produit des deux fac-teurs {y — x —1) et (y —x-j-3). .