GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 207

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prenons d’autre#dxes, parallèles aux axes actuels, mais passantpar une origine quelconque. A cet effet, il faudra faire dans [A]x = x’-\-a, y ~y -j~ b ,

a et b étant les coordonnées de cette origine, et x\ y\ les nou-velles coordonnées variables. Par cette substitution l’équation setransforme en celle-ci,

[B] A/ ! '+ Bx'y'+tx n -f D'y '+EV+F=0,

dans laquelle, pour abréger, on a fait

D'=2A6-)-Bæ+D, E'=2Gæ+B6-(-E,

F' = A&*+ Batr+ Ca 2 +DZ> + Ea + F.

Remarquons la composition de la transformée [B]. 1° Les coeffi-cients des termes du 2 e degré n’ont pas changé.;2" Les coefficientsD' et E' de y’ et de x r s’obtiennent en [formant le polynôme dérivérelatif à y et le polynôme dérivé relatif à x , du premier membrede l’équation primitive [A], et en remplaçant dans ces polynômesx et y par les coordonnées a et b de la nouvelle origine. 3° Enfin,la partie constante F' se trouve en substituant a et b à la place dex et de y dans le premier membre de l’équation [A].

Revenons maintenant à l’équation [B], et profitons de l’indéter-mination de « et Z» pour faire disparaître les termes du premierdegré. En conséquence nous poserons[1] 2AZ> + Bæ+D= 0, 2CÆ-|-BZ>-fE=0;

et nous tirerons de ces équations les valeurs de a et b , savoir :

2AE— BD, _2CD—BE

a ~ B 2 — 4AC ’ B 2 —4AC ‘

Dans le cas des ellipses ou des hyperboles, le dénominateurB 2 —4AC n’est pas nul (233) : ces valeurs ne sont donc ni infi-nies, ni indéterminées; de sorte qu’en plaçant l’origine au pointqu’elles déterminent, l’équation [B] perd véritablement les termesen x' et en y'. Ce point est le seul qui jouisse de cette propriété :car les équations [1] n’admettent pas deux solutions.

Pour les paraboles cette simplification est impossible : car alorsB 2 — 4AC=0, et les valeurs de a et de b sont infinies.

Mais si, de plus, un des numérateurs, 2AE—BD, par exemple,est nul en même temps que B 2 —4 AC, ces deux suppositionsrendent aussi nul l’autre numérateur, et les valeurs de a et de Z»deviennent indéterminées. Alors on sait que les équations [1]