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rentrent l’une dans l’autre, ou, ce qui est la Wmc chose, lesdroites qu’elles représentent n’en font plus qu’une seule; parconséquent il existe une infinité d’origines, toutes situéeS sur cettedroite, avec lesquelles on peut faire évanouir les termes du premierdegré.[Alors aussi l’équation [A] ne représente plus une courbe.En effet, les valeurs générales dey qui s’en déduisent sont

_Pr_D 1 -

y— —-±-~ v (B 2 —4 AC ) x , +2(BD—2 AE).r -f-D' J —4 AF ;2A 2A

et, par la double hypothèse B J —4AC=0 et 2AE—BD=0, ellesse changent en celles-ci :

y

—B.r—D

2Â

1/1) 2 — 4 Al’ 1 .

Or, ces valçurs ne représentent plus que deux droites parallèles,lesquelles peuvent, dans certains cas, se réduire à une seule, oumême devenir imaginaires.

Donc les ellipses et les hyperboles sont les seules courbes dusecond ordre dont l’équation puisse se ramener à la forme

[C] A/’+B*y+Cj£+F=0.

261. On pourrait penser qu’en changeant à la fois l’origine etla direction des axes, il serait possible de faire disparaître les ter-mes du 1 er degré, dans des cas où le seul changement d’originene suffirait pas : il est facile de se détromper à cet égard. Suppo-sons qu’une telle transformation ait en effet opéré cette simplifica-tion, et quelle ait donné l’équation [G], Remplaçons les derniersaxes par d’autres qui aient même origine qu’eux, mais qui soientparallèles aux coordonnées primitives x et y. Les valeurs qu’ilfaudra substituer dans la dernière équation [C] seront de la formex’=mx"-\-ny",y'—m'x"-> r n.'y"-, et il est évident qu’on ne repro-duira aucun terme du 1 er degré. De là je conclus que si on étaitpassé tout d’abord de la première origine à la seconde, sans altérerla direction des premiers axes, les termes du 1 er degré auraientégalement disparu ; de sorte que la direction des axes n’a aucuneinfluence sur l’évanoussiment de ces termes.

Evanouissement du rectangle.

262. Dans ce qui précède, les coordonnées de l’équation [A]avaient une direction quelconque. On suppose, dans ce qui suit,