GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 209

qu’elles sont rectangulaires. Si elles ne l’étaient pas, on pourraitles rendre telles par uns simple transformation d'axes.

Cela pose, cherchons à faire disparaître le produit des coordon-nées en choisissant de nouveaux axes qui soient aussi rectangu-laires. Il est inutile de changer l’origine : car si, en la plaçant enun certain point, ce produit disparaît, cette simplification auraitencore lieu pour toute autre origine, attendu qu’en y transpor-tant les nouveaux axes parallèlement à eux-mémes, les termes dusecond degré ne changent pas (260), et que par conséquent leproduit ne saurait reparaître. Prenons donc les formules [4jdu n° 191 qui servent à passer des axes rectangulaires à d’autresaxes rectangulaires, et faisons-y a— 0, b —0 : on aura

x— .r'cos a —y sin«, y—x' smoc-j-y' cos a;

et en mettant ces valeurs dans l’équation [A], on la change en uneautre telle que

[D] My' 3 -j- Kxy’ -(- Na/ 3 -f-R/+Sx' -f- F=0,

dans laquelle M, K, N, R, S, contiennent l’indéterminée «.

Pour que le terme affecté du rectangle x'y' puisse disparaître,il faut que l’équation K = 0 détermine pour a une valeur réelle.Or, si on développe les calculs autant que cela est nécessaire pouravoir K, on trouve

K =2 (A—C) sin a cos a -f- B (cos 3 a—si n 3 a).

Ainsi, pour connaître a, l’équation à résoudre est

2 (A — C)sinacosa-f-B (cos 2 a —sin 3 a) = 0.

Dans la trigonométrie (29), on a trouvé 2sin acosa=sin2a,cos 3 «—sin 3 a=cos 2a. Par suite, K = 0 devient]

d’où

(A—G) sin 2a-j-Bcos2a~0,

sin 2 y-COS 2 a

= tang2a=

—BA —G'

Comme la tangente peut prendre tous les états de grandeur entre— ocet-|-oc, il s’ensuit que l’arc 2a est toujours réel. Cet arepeut avoir quatre valeurs : en effet, a. doit être compris entre 0 et360° (194) ; donc 2a est compris entre 0 à 360° X 2, et si nous dé-signons par 2a l’arc moindre que 180°, qui répond à la tangenteci-dessus, il y aura entre 0 et 360° X 2 quatre arcs qui auront

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