210 DEOXIÈME PARTIE.

cette môme tangente (16). Ces quatre arcs sont

2a', 2a'+180°, 2a'4-2.180°, [2a'4-3.180°,donc a aura aussi quatre valeurs,

a'4-90% a'4-2.90% a'+ 3.90°.

Les deux premières déterminent deux droites à angle droit, etles dernières en déterminent les prolongements. 11 est clair quesi on prend une de ces droites pour l’axo des x ', l’autre sera celuides y. N’oublions pas que l’origine n’a pas été changée, et qu’elleétait située d’une manière quelconque : alors on pourra conclurequ’il existe, autour de chaque origine, un système d’axes rectan-gulaires propre à faire disparaître le rectangle x'y', ou à réduirel’équation du second ordre à la forme[E] My a +N^4-Rr'+&r'+F=0;

et en général il n’en existe qu’un seul.

263. Il faut cependant remarquer ici le cas où l’on a en mêmetemps Ij= 0 et A=C. Alors l’équation [A] peut s’écrire ainsi

et on voit qu’elle représente un cercle (n* 256), Ex. Y. Alorsaussi tang2a est indéterminée, ou plutôt le coefficient K est nulde lui-même : et cela prouve qu’on peut prendre deux axes quel-conques à angles droits, sans ramener dans l’équation le rectangledes coordonnées. Cette conclusion s’accorde avec le n" 186, où l’onvoit que l’équation générale du cercle, rapporté à des axes rectan-gulaires, ne contient point le rectangle xy.

264. Selon que l’équation primitive [A] représente une ellipse,une hyperbole ou une parabole, la quantité B'—4AC est négative,positive ou nulle. Or la quantité analogue, tirée de l’équation [E],est —4MN ; donc les coefficients M et N doivent être de mêmesigne dans le cas de l’ellipse, et de signe différent dans le cas del’hyperbole. Dans le cas de la parabole, un de ces coefficients doitêtre nul : d’ailleurs, ils ne peuvent pas l’être tous deux ; autrementl’équation [E] cesserait d’être du 2° degré.

Réduction de l’équalion générale.

265. Si ou ne considère que les ellipses et les hyperboles, on peutfaire disparaître d’abord les termes du premier degré, en déplaçant