GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 211

l’origine (260), et ensuite le rectangle des variables en choisissantde nouveaux axes rectangulaires, comme on vient de l’expliquer ;ou bien, si on le préfère, on peut changer d’abord la direction desaxes, et ensuite l’origine. Par cette double opération, l’équationde la courbe sera réduite à la forme

[F] M/-LNx ! = P,

en désignant par x et y les dernières coordonnées.

Dans le cas de l’ellipse, M et N sont de même signe; et enN P

faisant — = 7 / 1 % — =p, l’équation peut s’écrire ainsi :

y -j— ni x =p.

Dans le cas de l’hyperbole, M est de signe contraire à N. AlorsN P

on fait — =—— —p, et l’équation s’écrit ainsi :

y 2 — m' x'=p.

266. Ces formes d’équations ne conviennent point aux para-boles : car l’équation de ces courbes ne peut jamais perdre lesdeux termes du premier degré (260). Maison peut en faire dis-paraître le rectangle, et même alors l’un des carrés disparaîtaussi (264). Supposons que ce soit le carré x 12 : l’équation desparaboles sera

[G] M/’ + B/+S*'-f-F=0.

Prenons de nouveaux axes, parallèles à ceux des x' et des y\ etrapportons-y la courbe. Pour cela, on fera dans l’équation [G]

*'=*"+*, y'=y" + b:

il ne reparaîtra point de rectangle x"y", et nous introduirons ainsideux indéterminées a et b, à l’aide desquelles ou pourra fairedisparaître deux nouveaux termes. La substitution donne

[H] My ra -j-&r"+ (2M b -j- Il )/'+ MA 1 +Ri+S<z -f-F= 0,

équation dans laquelle la partie affectée de y", et celle qui estindépendante des variables, sont les seules où entrent les indéter-minées a et b. On fera disparaître ces deux parties en posant

d’où

2Mù-f R=0,

b

— Il2M’

Mù’ + IlA-fSa-)-F=0,—Mft’—Rft—F