212 DEUXIÈME PARTIE.

b n’cst pas infini, car M n’cst pas nul ; et a n’est pas infini nonplus, car il est permis de supposer que S n’est pas zéro. En effet,si S était zéro, l’équation [G] ne contiendrait plus x\ et, en larésolvant par rapport à y, on trouverait deux valeurs constantes;donc l’équation donnée ne représenterait plus une ligne courbe,et pour cette raison on rejette le cas particulier où S est nul.

Maintenant, il est clair qu’en plaçant l’origine au point qui apour coordonnées les valeurs précédentes de a et b , la dernièretransformée [H] se réduit à cette équation

[1] M/' 2 +Sx" = 0,

*■ g

ou bien, en supprimant les accents et faisant — —=2p, à

y=2px,

qui est, sous la forme la plus simple, l’équation des paraboles.

267. En résumé, on conclut qu’en choisissant convenablementl’origine et la direction des axes, les ellipses, les hyperboles et lesparaboles peuvent être représentées par les équations

[a] y+m'x'=p, [b] y—m'x'—p, [c] y^ — 'lpx;

et que ces formes d’équations ne subsistent que pour un seul sys-tème d’axes rectangulaires (le cas du cercle excepté).

I)u centre et tles aie?.

268. Ces équations mettent en évidence quelques propriétésqui méritent de fixer l’attention. D’abord, de ce que [a\ et \b] necontiennent pas les termes du 1 er degré, on conclut que l’origineest un centre. Mais il faut reprendre les choses de plus haut.

On appelle centre d’une courbe un point qui divise en deux par-ties égales toute droite qui passe par ce point, et qui est terminéeà la courbe. De cette définition découle le théorème suivant :

Quand l’origine des coordonnées est placée au centre d’une lignedu second ordre , les termes du 1 er degré , par rapport aux coor-données , n’entrent point dans l'équation de celle ligne; et récipro-quement, lorsque les termes du 1 er degré n’entrent pas dans l’équa-tion d’une ligne du second ordre, l'origine est le centre de cellecourbe.

Pour le démontrer, reprenons l’équation générale[A] [Ay + B^-|-Cx’+D^-fE^+F=:0;