GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 21 $
supposons que la courbe représentée par cette équation ait uncentre, et que ce centre soit pris pour origine des coordonnées.Toute droite menée par ce point a pour équation y-ax-, et, pourobtenir les abscisses des points de rencontre de la droite avec lacourbe, il faut faire y—ax dans l’équation [A]. On a ainsi
( Aa 1 -)- Ba -f-C ) x 7 -f- ( D a -f-E ) x -f- F = 0,
équation dont les racines sont les abscisses cherchées. Or, MN(fig. 107) étant la partie de la droite comprise dans la courbe, ondoit avoir AN=AM ; donc si on mène les ordonnées MP, NQ, lestriangles AMP, AAQ, seront égaux; donc AQ=AP : c’est-à-direque l’équation qui donne ces abscisses a ses racines égales et designes contraires; donc on doit avoir Da-4-E= 0. Mais cette égalitédoit exister quel que soit a; donc on a séparément D=0, E = 0 :par conséquent, les termes du 1 er degré ne doivent pas entrer dansl’équation [A],
ltéciproquement, lorsqu’on a D = 0, E==0, l’équation quidonne x a ses deux racines égales et de signes contraires, d’où l’onconclut que les triangles APM, AQN, sont égaux, et par suite quetoute corde MN, menée par l’origine, y est divisée en deux partieségales : c’est-à-dire que l’origine est un centre.
Pour qu’une courbe du second ordre ait un centre, il faut doncqu’on puisse transporter les axes, parallèlement à eux-mèmes, àune origine qui fasse évanouir les termes du 1" degré; et alorscette origine sera le centre. Or cette transformation est impossiblepour les paraboles, et elle ne l’est que d’une seule manière pour lesellipses et les hyperboles (260) ; donc les ellipses et les hyperbolesont un centre qui est unique, mais les paraboles n’en ont pas.
269. Suivant la définition du n° 227, un diamètre est une droitequi divise en deux parties égales une suite de cordes parallèles.De là il suit que si une des coordonnées, y , par exemple,n’entre qu’au carré dans l’équation d’une courbe du secondordre, l’axe auquel l’autre coordonnée x est parallèle est undiamètre. Il est visible en effet que, pour chaque abscisse, lesvaleurs de y seront égales et de signes contraires : donc l’axe desx divise en parties égales les cordes parallèles à la ligne des t r ; doncil est un diamètre.
Quand un diamètre est perpendiculaire à la direction des cordesqu’il coupe par moitiés, c’est un (ixe de la courbe. La partie com-