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DEUXIÈME PARTIE.

prise dans la courbe est la longueur de cet axe. Les points où il larencontre se nomment sommets.

La ligne sur laquelle se comptent les abscisses x, dans les équa-tions [«], [6]., [c], est donc un diamètre , et même un axe de lacourbe. Pareillement, la ligne des y est aussi un axe de l’ellipseet de l’hyperbole données par les deux premières : mais elle n’enest pas un pour la parabole donnée par la troisième, parce que x yest au P' degré. On verra plus tard que les axes dont nous par-lons ici sont les seuls qui existent dans les courbes du second ordre.

Développements des calculs qui mènent aux transformées [F] et [1].

270. L’objet de ce chapitre était de découvrir la forme des équa-tions les plus simples qui représentent les courbes du second ordre.Il était donc bien plus important de reconnaître la possibilité destransformations que de les effectuer ; et c’est pourquoi j’ai négligéles détails de calcul qui m’auraient écarté du but vers lequel jetendais. Je vais réparer ici cette omission volontaire.

Supposons d’abord que l’équation

[A] Ar 2 +B^r+Cx 2 +D^+E^+F=:0

représente une ellipse ou une hyperbole, et développons les cal-culs nécessaires pour la réduire à la forme [F], M>' 2 -j-N.r ; ‘=P,en prenant des axes rectangulaires. La question se résout en opé-rant, ainsi qu’on l’a dit (265), deux transformations d’axes.

Première transformation (260). On fait disparaître les termes du1 er degré, ce qui revient à transporter l’origine au centre; et onobtient une transformée telle que

[C] A/+P,rj-LC.r 2 +F'=0.

Les coefficients À, B, C, sont les mêmes que dans [A] ; les coordon-nées du centre sont déterminées par les équations

[1] 2Aè-j-Brt-j-D = 0, 2Ca-fB£-)-E=0;

et on a F'=Aè 2 -j-Ba&-j-Ca a -j-Di+EÆ-(-F.

On peut simplifier cette valeur de F' : en effet, si on multiplie leséq. [1 ] respectivement par b et par a , et qu’on ajoute, il vient2 KV l + 2B<z6 -f 2C« 2 -f D6 -f *Ea — 0,

Di + Ea D64 -Eæ

d’où Ai 3 4-Ba6+C« a =-ÿ—; donc F=F+ —^-