GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 215

En réunissant ici les valeurs de a et b (260) à celle de F', on aurales éléments de la première transformation, savoir :

2AE—BD , 2CD—BE D£+E<z

B 2 —4AG ’ B’— 4ÀG ’ ’ ~ + 2

Seconde transformation. Avant de procéder à cette transforma-tion il faudrait rendre les coordonnées rectangulaires si elles nel’étaient pas. Mais je supposerai qu’elles le soient déjà dans l’équa-tion [C], et je cherche immédiatement de nouveaux axes rectan-gulaires qui fassent disparaître le produit xy, de telle sorte quel’équation résultante prenne la forme demandée

[F] M/’ + Nx’^P.

Pour y parvenir, dans [C] on remplace x par a.-cos a —y sin a,y par a; 1 sin a-f- j /cosa; et on détermine a d’après la condition quele multiplicateur de xy soit égal à zéro. On a trouvé (262)

tang 2x

—BA—G ’

et par suite on obtient facilement (25)

1 A—G

cos 2«=— — —. — = — . — ,

V 1 +tang 2 2 « l/B’-f (A—C) 1

—B

sin 2% — cos 2« tang 2x = — .

l/B a + (A-C) a

Dans ces valeurs, le radical porte avec lui le signe ±, parce qu’onpeut choisir chacun des nouveaux axes pour celui des x ; mais,pour écarter toute ambiguité, je donnerai partout au radical lesigne -f-, ce qui revient à prendre sin 2a de signe contraire à B.

Maintenant il faut calculer les coefficients M, N, P. La substi-tution immédiate des formules xcosa— y sina, ■rsina-j-^cosa,dans l’équation [C], donne

M = A COS 2 a —BsinacOSa-j-Gsin’a ,

N = A sin 2 a+B sin a cos a C cos 3 «,

P =—F'.

En faisant la somme M+N et la différence M—N, on trouve

M + N=A + C,

M — N = ( A — C) (cos’ a —sin’ a) — 2B sin x cos a =

1)2 | / * _rv 2 _ _

(A—C) cos2x—Bsin2x = — -- — — 1/B’ 4- (A —G)-* ;

l/B’ + (A—C)’