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DEUXIEME PARTIE.

et alors on obtient facilement les valeurs de M et de N. En y joi-gnant celles de tang 2a et de P, on aura tous les éléments de la se-conde transformation, savoir :

tang 2a— — - i M—î(A- + C)+j ~(A'—C)'*»

N = i(A+C)-il/IP + (A-C)% P=-F'.

Il ne faut pas oublier que sin 2a est de signe contraire à B.

271. Supposons maintenant que l’équation [A] représente uneparabole, et, sans cesser de prendre des coordonnées rectangulai-res, ramenons-la à la forme [1], M/’ + S.r = 0. Dans ce cas, onfait d’abord évanouir le rectangle en changeant la direction desaxes, et ensuite on déplace l’origine.

Première transformation. Elle conduit (266) à l’équation

[G] SIr a +R^ + SxH-F = 0. »

Les axes primitifs sont supposés rectangulaires; les nouveaux lesont aussi, et l’angle a qui détermine leur situation est donnépar la même formule que dans le n° 270. On a aussi, pour M et N,les mêmes formules : mais comme, dans la parabole, on aB 2 = 4AG, elles reçoivent de grandes simplifications.

D’abord 1/1P + (A—C) 2 = ±(A+C). Relativementau signc±,observons qu’on peut toujours rendre A positif dans l’équation[A], et qu’alors, en vertu de la relation IP = 4AC, C est aussi posi-tif; donc, si on continue de prendre le radical positivement, onaura l/B ; ‘ + (A— C)’ — A-f-C. En conséquence, il viendra

tang 2a

— BA—G’

COS 2a

A—GA+C’

sin 2a

— BA-fC’

M —A + C, N=0.

On voit, ainsi qu’on devait s’y attendre, que l’évanouissement durectangle fait disparaître un des carrés (264).

11 faut de plus calculer R et S. Or, quand on remplace dans [A].rpar xcosa—ysina, et .y par .rsina+.ycosa, on trouveR=Dcosa — Esina, S = Dsina+Ecosa.

Mais (31) sin a a

cos* =

sin2a

2sina

1-

—eus 2’

z -\

2

V

-B

' GA + C’

2[/C(A + C)

et