GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

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à a‘-\- j b‘ — c. Toutefois, cette équation ne représente vérita-blement un cercle que lorsque la quantité -a'‘-\- l b' i — c est positive :car, si elle est nulle le cercle se réduit à son centre, et si elleest négative l’équation est impossible. Ces détails ont déjà étédonnés n° 256, Exemple Y.

276. Étant donnée une équation du second degré, entre coor-données obliques dont l’inclinaison est connue, on peut demandercomment on jugera qu’elle représente un cercle. Pour répondre àcette équation, on développe l’équation [6], et on l’écrit ainsi :

x : ‘-j-y 2 -j-2xy cos8—2 (a- j- p cos6) x — 2 (j3-j-aCOS0 )y

■ -|— a a -j-(3 a -j- 2ap cosQ—r a = 0.

Alors on voit sur-le-champ qu’après avoir divisé l’équation pro-posée par le multiplicateur de y, il faudra que celui de X*soit égal à l’unité , et celui de xy égal au double du cosinus del’angle des axes.

Je dis de plus que toute équation qui remplit ces conditions nepeut pas représenter d’autre ligne qu’une circonférence. En effet,supposons que cette équation soit

[7] x*-\-y ü -\-2xy cos9-\-ax-\-by-\- c=0, .

et, aûn de la rendre identique avec celle du cercle, posons

à-j-pCOS0=— [3 -|- a COS0 =—a -j- p 2 -(- 2aj3 COS 0 — r*— C.

De ces égalités on tire

b cos 9 —a acosG —b . /a‘ 4- b" — 2ab cosO

à— __ R — _ r — \ / _ _ _ ; - c:

2 sin J 0 ’ “ 2 sin a 9 ’ y 4- sin a 0

donc ces valeurs étant mises à la place de a, p, r, rendront l’équa-tion [6] identique avec l’équation [7] ; donc cette dernière ne peutpas représenter d’autre ligne qu’une circonférence, dont le centre etle rayon seront donnés par les formules ci-dessus.

Pour construire le centre, il n’est pas nécessaire de calculer« et e. Soit O ce centre (Gg. 111) dont les coordonnées sontA15=OC=a et AC = OB = p : abaissez OD perpendiculaireà Ax, et OE perpendiculaire à A y. Les triangles rectangles BOD,COE donnent BD = |3 cos 0, CE = a cos 0 ; donc

a

b