220 DEUXIÈME PARTIE.

Ainsi, en prenant avec des signes contraires, dans l’équation [7],les moitiés des coefficients de x et dey, on aura les longueurs ADet AE ; et par suite, en élevant les perpendiculaires DO et EO, onconnaîtra le centre O.

Si la valeur de r est nulle, l’équation [6] exprimant que le carréd’une distance entre deux points est égal à zéro, ou en conclut quele cercle se réduit à son centre. Si r est imaginaire, l’équation estimpossible. On peut encore rendre ces conséquences évidentes enécrivant l’équation [6] d’abord sous cette forme

\{x— «) a + Cr— |5) 3 ](cos^0-fsin 3 iS)

+2(.r—a) (jr—P) (Cos 2 i 0—sin” j 0)=r“;puis, sous la suivante :

[(■*—*)+Cr—plPcos’^ + fOr—a) — {y— S)] a siu 40 =r\Comme le premier membre est la somme de deux carrés, on voitque si r est imaginaire l’équation est impossible; et si r est zéro,elle ne peut être satisfaite qu’en égalant chaque carré à zéro , cequi conduit à x—a,y=p.

• Théorèmes relatifs au cercle.

277. Je vais faire voir ici comment on peut démontrer par lecalcul les théorèmes sur le cercle, établis dans la Géométrie.

Reprenons l’équation du cercle,

S + x' = R\

Elle donne y—dz\/'K 2 — x J ; donc il y a(fig. 112) deux ordonnéeségales et opposées, MP et PN, pour chaque abscisse AP. Or MNétant perpendiculaire à AB, si on applique la partie inférieure ducercle sur la partie supérieure, en la faisant tourner autour du dia-mètre BC, le point N tombera sur le point M; et pareillement,tous les autres points de la partie BNC se placeront sur la partiesupérieure BMC. De là on conclut

1° Que tout diamètre divise le cercle et la circonférence en deuxparties égales;

2° Que le diamètre , perpendiculaire à une corde, divise aussicelte corde et l'arc sous-tendu, chacun en deux parties égales.

278. 11 est évident, sur la figure, que CP=R-j-.retBP=R— x;donc

CPXBP=(R + x)(R—x) = R 2 — x 2 .