221 DEUXIÈME PARTIE.

A et le cercle, sur l’une des droites, sont réciproquement proportionnelles aux distances analogues comprises sur l’autre droite.

Cet énoncé comprend évidemment les deux théorèmes suivants,démontrés en Géométrie :

Quand deux cordes sc coupent dans le cercle , les parties del’une sont réciproquement proportionnelles aux parties de l’autre.

Si, par un point pris hors d’un cercle , on mène deux sécantesquelconques à la circonférence, les sécantes entières sont récipro-quement proportionnelles à leurs parties extérieures.

A quoi l’on peut ajouter ce troisième théorème: Si, par unpoint pris hors d’un cercle, on mène une sécante et une tangenteà ce cercle, la tangente sera moyenne proportionnelle entre la sé-cante entière et sa partie extérieure.

Ce dernier n’est en effet qu’un cas particulier du précédent, etil s’en déduit en supposant que l’une des sécantes tourne autour dupoint A jusqu’à ce que, les deux points d’intersection M'et N' seconfondant en un seul, la droite devienne tangente. Alors la sé-cante entière et sa partie extérieure ne font plus qu’une seule etmême distance, égale à la tangente.

283. Cherchons encore les conditions relatives à l’intersection etau contact des cercles. Pour y parvenir de la manière la plus facile,prenons pour axe des x (fig. 115) la droite kx qui passe parlescentres A et B, et plaçons l’origine des coordonnées rectangulairesau centre A. En désignant par a la distance AB, et les deux rayonspar R et R', les équations des cercles seront

*»+y = R*, (x—«)»+^ = R'».

Les coordonnées de chaque point commun aux deux circonférencesdoivent satisfaire à ces deux équations ; et réciproquement, deuxcoordonnées qui satisfont à ces équations appartiennent à un pointcommun aux deux circonférences. Si donc on considère x et ycomme deux inconnues, et qu’on cherche toutes les solutions desdeux équations, celles qui seront réelles feront connaître les inter-sections des deux cercles.

Pour résoudre les équations, on effectue le carré [x —a) 2 et onretranche la seconde de la première : il vient 2-j.x —x 3 = R 3 — R'%d’où l’on tire