GÉOMÉTRIE APULTTIQDE A DEUX DIMENSIONS. 225

En substituant cette valeur dans la première équation, on obtient

les valeurs correspondantes de y, savoir :

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y=± — V/4a a lV — (« J -j-R 5 — R'f.

On ne trouve que deux solutions, et de là ce théorème connu :Deux circonférences ne peuvent avoir plus de deux points com-muns, à moins qu’elles ne se confondent.

Les deux points d’intersection ayant une même abscisse AP,mais deux ordonnées MP et NP, égales et opposées, on conclutencore cet autre théorème : Quand deux circonférences se coupent ,la ligne des centres est perpendiculaire à la corde qui joint lespoints d’intersection, et la divise en deux parties égales.

Pour qu’il y ait en effet intersection, il faut que la quantitésoumise au radical, dans les valeurs dey, soit positive. Afin dereconnaître dans quel cas cette condition est remplie, remarquonsd’abord que cette quantité est une différence de carrés, et que parsuite y peut s’écrire ainsi :

y^=±^V (2,R+«’+R’—R'») (2 a R—R’+R'*)

JL r J-

Chaque facteur est lui-même une différence de carrés, et peutaussi se décomposer en deux autres ; de là résulte

^=±^\/(*+R + R')(«+R—R')(R-fR'— a)(a-f R'— K).

Il est toujours permis de placer l’origine au centre du plus grandcercle, et de prendre les abscisses positives du même côté que lecentre de l’autre cercle; c’est pourquoi nous supposerons a positif,et R plus grand que R' ou au moins égal. Alors les deux premiersfacteurs sont positifs, et, pour que y soit réel, il. faut que les deuxautres facteurs soient tous deux positifs, ou tous deux négatifs. Ondevrait donc avoir en même temps

a-^R-f-R’ et R<^se-j-R',

ou bien

«>R + R' et R>a- j-R’ :

mais les deux dernières conditions sont incompatibles; car il ré-sulte de l’une que a serait > R, et de l’autre, que R serait >> a,cequi implique contradiction. Ainsilcs conditions relatives à l'inter-section des cercles sont a «c^R-J-lt/ et If <Zy- -j-R : c’est-à-dire quela distance des centres doit être moindre que la somme des

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