géométrie analytique a deux dimensions. 235

ainsi on peut, sans nuire à la généralité des résultats, supposercÇ>b. Or, il est clair qu’en faisant occuper au point M toutes lespositions possibles entre les points D el B, x croissant depuis zérojusqu’à^, MA croîtra depuis DA —b jusqu’à BA = <z; donc, sidans l’ellipse on m'ene des droites ou rayons entres la courbe etson centre , le plus petit rayon est égal à la moitié du petit axe,et le plus grand rayon, à là moitié du grand axe.

Quand b=a, on a MA=a : c’est-à-dire que les rayons sontégaux, ce qui fait reconnaître le cercle.

301. En supposant que x et y représentent les coordonnées d’unpoint particulier M pris sur l’ellipse, l’équation [e] donne

y ' 1 = (tf+J?).

Ory=MP, a — x=PB, a -j-x=PG; donc

M P J = X PB X PC.a

Pour un autre point M', on a pareillement

M'P' ; =^ X P'B XP'G ;a I

donc

MP _ PBXPC]yj'p' a P'B X P G

Donc, dans l’ellipse, les carrés des ordonnées , perpendiculaires àl’un des axes de cette courbe , sont entre eux comme les produitsdes segments correspondants formés sur cet axe.

302. Pour tous les points situés sur l’ellipse, on doit avoir

0. Si on considère un point extérieur K,et qu’on tire la droite AK, cette ligne coupera l’ellipse en unpoint M dont les coordonnées seront moindres que celles du pointK; donc, pour le point K, on aura a 2 y 2 -\-b 2 x 2 — a 2 b 2 fo 0. Onverrait de la même manière qu’on a a 2 y 2 -\-b 2 x 2 — a 2 b 2 <0 pourun point intérieur K'. Ainsi on a toujours

a 2 y 2 -f- b 2 x 2 — a 2 b 2 — 0 pour un point pris sur l’ellipse,b 2 x 2 — a’b 2 >0 pour un point extérieur,a 2 y 2 -j- b 2 x 2 — a 2 b 2 <0 pour un point intérieur.

Par conséquent, pour savoir si un point est sur l’ellipse, s’il estextérieur, ou s’il est intérieur, il suffit de reconnaître si la quantité a 2 y 2 -j- b 2 x 2 —a 2 b 2 est nulle, positive, ou négative.