238 DEUXIÈME PARTIE,

extrême simplicité en plaçant dans certaines positions le point d’oùpart la distance ; et dès lors ces positions méritent d’être remar-quées. La question à résoudre est donc celle-ci :

L’ellipse étant rapportée à ses axes, déterminer les points dontla distance, à un point quelconque de cette courbe, est expriméepar une fonction rationnelle de l’abscisse de ce point. Ces pointsse nomment les foyers de l’ellipse.

Soit pris à volonté un point G (fig. 124) dans le plan de l’ellipse :désignons par x' et y ses coordonnées, par x et y celles d’unpoint quelconque M de la courbe, et par S la distance GM, on auragénéralement

fS* ={x—x?f+ (y —y>)%ou, en développant les carrés,

= x 1 — 2x x-\-x"‘-\ r y’—2ÿy -\-y'\

Le point M étant sur l’ellipse, on a entre x et y l’équationa‘y*-\-b 2 x i = a’b’i Or on en tire

portons donc cette valeur dans l’expression de <J a , et on aura ,réductions faites,

F=^^x'-2x'x-\-x , '+y''+b'-2y' \ /b’-~.a y' a

Pour que S soit une fonction rationnelle de x, il faut à plus forteraison que S* en soit une, ce qui ne peut pas arriver à moins quele radical ne disparaisse. Or, ce radical ne peut disparaître qu’enfaisant./ = 0 ; donc le point G, pour être un foyer de l’ellipse,doit être situé sur l’axe des x.

En faisant/ =0, on a

a* = ±Z-Lx'—2x'x + x” :

a iii

et le seul moyen de rendre.la valeur de S rationnelle en x est dedisposer de l’indéterminée x' de manière que le second membresoit un carré parfait. Pour cela il faut qu’on ait

+ (*■+*'*)

équation d’où l’on tire,après réductions,