GÉOMÉTRIB ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 239

Ces valeurs ne sont réelles qu’autant que a est plus grand que b-,c’est-à-dire que les abscisses doivent être comptées sur le grandaxe, et non sur le petit. Supposons donc qu’il en soit ainsi, et nousaurons deux foyers, F et F', situés sur le grand axe, de part etd’autre du centre, à une distance égale à I/a 3 —à 1 .

On construit facilement ces foyers par les intersections dugrand axe BC et d’un arc de cercle décrit du point D, extrémitédu petit axe 2b, avec un rayon égal à a, En effet, si on supposeque F et F' aient été trouvés par cette construction, on auraAF=AF'=[/a 3 — b 2 .

La distance FF' se nomme Vexcentricité de l’ellipse.

308. Cherchons maintenant les valeurs des distances FM et F'M,qu’on nomme ordinairement rayons vecteurs. Si on veut avoirFM, il faut mettre dans la dernière expression de S 2 , au lieu deaf, la valeur positive -f- l/a 3 — b 3 ; et pour avoir F'M, il fautremplacer or'par la valeur négative — l/a 3 — é 3 . Faisons, pourplus de simplicité, l/a 3 — à 3 =c , remarquons que b 2 + c a = a 3 ,et nous trouverons

FM 3 = ~—2cx-\-a 2 , FM 3 = -2cx+a%ou, en extrayant les racines,

FM=±(.+ c £).

On ne doit prendre que les valeurs qui sont positives : or x est

moindre que a pour tous les points de l’ellipse, et c est aussi une

quantité moindre que a ; donc il faut prendre, pour FM et F'M,

les premières valeurs, c’cst-à-dir<?,

ex , ex

FM=a-, FM=a-J-.

a a

309. En ajoutant ces expressions, on trouve

FM-f FM=2a,

ce qui donne ce théorème remarquable : La somme des rayonsvecteurs, menés à un point quelconque de l’ellipse, est constante etégale au grand axe.

310. Soit N (fig. 125) un point hors de l’ellipse, menons NFet KF. Soit M le point où NF coupe l’ellipse, joignons MF.On a FN+FN >FM4- FM ; or, FM 4-FM=2a; doncFN + FN>2 a.