GÉOMÉTRIE ANALVT1Q0B A DRÜk DIMENSIONS. 2ll

et par x et y les coordonnées A P et PM ; les triangles rec-tangles MFP, MF'P, donnent

j 2 + (c— xY=[a~ z) 3 ,

^■ î + ( c + - r ) î = : i«+ z )%

équations entre lesquelles il s’agit d’éliminer z. En retranchant lapremière de la seconde, il vient

C£

hex—kaz, d’où z=—.

a

En portant cette valeur dans l’une des équations, on obtient, pourl’équation de la courbe cherchée, après toute réduction,

ay-f(a’—c 3 ) x’ — ci‘{a? —c 3 ).

D’après l’énoncé même, il est clair qu’on a FM-|-F'M>FF';donc 2«>2c; donc a? —c 3 est une quantité positive. Si on comparel’équation ci-dessus avec celle de l’ellipse,

on voit que les deux équations, et par conséquent les deux courbesqu’elles représentent, seront identiques, quand on aura

a? • —e 3 = à 3 .

On lire de là b—\/a 3 —c 3 ; donc courbe cherchée est une ellipse

dont le grand axe =2 a, et dont le petit axe =21 /c? —c 3 .

313. La relation a 3 —c 3 = b 1 donne aussi

c = \/ a 1 — à’ ;

donc, si on suppose que BG soit le grand axe d’une ellipse, et sisur BC, à partir du centre, on prend AF=AF'=l/<* 3 — û 3 , onsera sûr que pour chaque point de l’ellipse on aura FM-j-F'M=2a.Celle propriété est celle qui a été trouvée n° 309, et pourraitservir à définir les foyers s’ils ne l’avaient pas été d’une autremanière.

En mettant, dans «■—£ et <î~j-z, au lieu de z sa valeur C ~ .

a

on retrouve

FM=æ——, F'M=a+—.

a a

Ces expressions sont des fonctions rationnelles de l’abscisse x, etcette propriété est celle que nous avons adoptée pour définition desloyers, selon l’usage le plus répandu.