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DEUXIÈME PARTIE.

314. Chaque foyer divise le grand axe en deux segments respec-tivement égaux à a-\-\/d r -—U- et a —j/« 5 ^ô T , et dont le rec-tangle est égal à b % carré de la moitié du petit axe : c’est par cettepropriété fort simple que les foyers sont définis dans le traitéd’ApPOLLONIUS.

315. Aux deux foyers répondent deux droites remarquables,qu’on nomme directrices, et que je vais faire connaître.

Pour la distance du foyer F à un point quelconque M de l’ellipse,

ex c f et 1 \ d?

on a trouvé MF =a -= — (-x ).Or,sion prend AH= -,

a a\c J c

si ensuite on mène HL perpendiculaire à AB, et MR perpendiculaire

à 1 c ]\ip c

àHL, on aura MR=—— x- doncMF=- xMPi;donc——

’ c ’ a ’ MR a

,3

De l’autre côté du centre, à la distance AH'= AH= — , menezaussi H'L' perpendiculaire à AB, et MR' perpendiculaire à R'L'. On

o

Ctr CX C

aura MR' =- \-x: mais MF= a -J-= — ; donc

c

a

a

. MF _ c1 MR' “ a

aussi

Les perpendiculaires HL et H'L' se nomment les directrices del’ellipse; et les propriétés précédentes, qui les caractérisent,peuvent s’énoncer ainsi : Les distances de chaque point de l’ellipseà l’un des foyers et à la directrice voisine de cefoyer, sont entreelles comme l’excentricité est au grand axe.

Remarquez d’ailleurs que , d’après la construction , on aAil X c = : c’est-à-dire que le demi-grand axe AB doit être

moyen proportionnel entre AF et AII.

316. Supposons qu’on veuille trouver directement la courbe dontchaque point est tel que ses distances à un point donné et à unedroite donnée soient entre elles constamment :: m : n.

Soient F' et H'L' le point et la droite donnés : abaissez la ligneH'F'x perpendiculaire à la droite donnée II'L', et divisez F'H'en G de manière qu’on ait F'C : CH' ; ; m ; n ; il est évidentque le point C appartient à la courbe, et qu’on peut supposer7 «=F'C et m=CH'. Élevez CY perpendiculaire à Cx, et prenezles lignes Cx, CY, pour axes des coordonnées.

Cela posé, x et y étant les coordonnées d’un point quelconque M