GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 243
de la courbe, les distances de ce point au point F' et à la ligne II'L'seront
MF'=|/y+(.r —mf et MR'=x-|-n;donc, d’après l’énoncé, on aura
[/'y 2 -j- {x — m)' 1 : x-\-iîy. m : n ;et, par suite, toutes réductions faites,
rfy* -j- [if — m*) x 2 — 2 mn (n -j- m) x — 0.
Cette équation est celle de la courbe cherchée, et elle montre quecette courbe sera une ellipse, ou une hyperbole, ou une parabole,selon qu’on donnera m<^n , ou m^>n, ou m=n.
Prenons la première hypothèse, et, pour avoir les points oùl’ellipse coupe l’axe Cx, faisons j-^0 dans l’équation : il vient
d’où
( n 2 — m 2 ) x' — 2 mn(n-\-m) .r=0,
x — 0 et
2 nmn — ni
La valeur x—0 donne le point C déjà connu, et l’autre valeur dé-termine le point B. Transportons l’origine au point À, milieu de CB:
il faudra changer x mx 4- mn ■, et alors on trouve l’équation
n—m
rfy* -f- [rf — nf) x*—
r/frf (n-\- m)n — m
L’ellipse est actuellement rapportée à son centre et à ses axes.On connaît déjà la longueur du demi-axe AB; et si on faitO7=0 dans l’équation précédente, on connaîtra l’autre demi-axe.En désignant ces demi-axes par a et b , on aura
[ 1 ]
a—
*=V£“
n■—m y n — 171
En nommant c la distance du centre À aux foyers, on a
c =iÆZF=\ /Jl n - _ ÜLi, T . V {n~ m y n
mais on a
nf ( n-\-m )