244 DEUXIÈME PARTI®.

317. Remarque, La définition des foyers, telle qu’elle est présen-tée n° 307, d’après Euler , est simple sans doute, mais elle a ledéfaut de ne pas caractériser ces points par une propriété géomé-trique; et celle d’AppoLLOxics (314) n’exprime pas une propriétéassez saillante pour qu’on doive s’y arrêter. Il serait plus satisfai-sant de réunir les foyers et les directrices dans une même rechercheen les définissant comme dans l’énoncé du problème précédent; etalors l’analyse qui résout ce problème pourra servir à les déter-miner. Si on adopte cette marche, on devra regarder a et b commedonnés, tandis que m et n seront des inconnus qu’il faudra déduiredes équations [1]. Mais il sera mieux encore de prendre pour incon-nues les distances AF' et AIF, lesqu elles sont déterminées très-sim-plement par les relations AF — |/V— b‘ et AF X AI1'= a 1 .j 318. Autre remarque. En cherchant les foyers (308) on a trouvé

C.2* Côt

FM— a -, FM=a-f —; et, plus tard (315), la forme même

a a

de ces valeurs a fait découvrir avec facilité les deux directrices. Ace sujet, je ferai remarquer d’une manière générale qu’il suffit quela distance d’un point fixe à un point quelconque d’une courbesoit exprimée par une fonction rationnelle du 1" degré, entre lescoordonnées de ce dernier point, pour conclure qu’il existe unedroite fixe qui est telle que les distances de chaque point de lacourbe au point fixe et à la droite soient entre elles dans un rap-port constant. Yoici comment on démontre celte proposition, etcomment en détermime la position de la droite.

Désignons par 9 l’angle des axes, que nous laisserons quelcon-ques ; par jt, j, les coordonnées de la courbe ; et par p, p', les deuxdistances dont il s’agit. D’après l’hypothèse, p est une fonctionqu’on peut mettre sous la forme

p-k{y~~gx—h).

Supposons qu’une droite de position indéterminée ait pour équationjr v t=Gx,-fIÏ,

et faisons K *= — — ■ sin 0 — — , le n° 224 donnera, pour lal/l-j-G a -)-2Gcos9

perpendiculaire p',

— Gx — II):

alors on voit qu’en prenant G —g et H =4, les distances p et p' se-ront en effet dans un rapport constant; car on aura p : p :: A ’ K.