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DEUXIÈME PARTIE.

Par suite l’équation de tangente sera

■^x—x')

ou, sous une autre forme,

a y y + b'x'x = a?y n -f-6\r'%

ou enfin, en remarquant que c?y n - |-Z> a .r' a = a 3 # 1 , sous celle-ci :

ay’y-\-U'æ'x=a'‘b\

M

Comme il n’y a qu’une valeur pour a, on ne peut mener parchaque point de l’ellipse qu’une seule tangente à cette courbe.

320. On peut ici, comme pour le cercle, prouver que la droiteainsi déterminée est tout entière hors de l’ellipse. En effet, si onreprend les équations

ay'y -\-l/x’ x-=a‘b

et qu’on retranche de la seconde le double de la première, le ré-sultat pourra être mis sous cette forme

a' (y—y ') a + ^ {x—x’f = a y + b'x*— a'b\

La quantité ayyb'x 1 — cfb* est donc constamment plus grandeque zéro pour tous les points de la droite, excepté pour celui dontles coordonnées sont x\y' ■. tous ces points, excepté celui de tan-gence, sont donc situés hors de l’ellipse (302).

321. La formule trouvée plus haut,

montre que si on tire par le centre une droite quelconque, quirencontre l’ellipse en M et en M' (fig. 127), les tangentes menéesà ces deux points seront parallèles. En effet, en passant du point Mau point M', les coordonnées changent de signe, mais non degrandeur ; par conséquent la valeur de a ne changera point. Aureste, -ce parallélisme des tangentes résulte immédiatement de lasymétrie de l’ellipse par rapport à ses axes.

322. La même formule montre encore comment la tangenteMT s’incline sur l’axe BC, quand le point M change de position.En B et en C on a oc—àza et y'= 0 ; donc a est infini ; donc latangente est perpendiculaire sur BC. En D et en E on a x' = 0,y — ±b ; donc a=0; donc la tangente est parallèle à BC. Dans lespoints intermédiaires, en allant de B vers D, a/ diminue et y' au g-