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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

signes contraires; donc ils sont suppléments l’un de l’autre. Maisl’angle F'MT est aussi supplément de l’angle F'MR ; donc FMTest égal à F'MR. Si on mène la normale MS, et que des anglesdroits TMS, RMS, on retranche les angles égaux TMF, RMF, ilrestera FMS = F'MS.

Donc, dans V ellipse, les rayons vecteurs menés au point de con-tact font avec la tangente , d'un même côté de celte ligne , desangles égaux; et la normale divise en deux parties égales l’anglede ces rayons vecteurs.

331. Ces propriétés fournissent une construction très-simpleour mener une tangente à l’ellipse par un point donné.

Supposons d’abord que ce point donné M (fig. 131) soit surellipse. On mène les rayons vecteurs FM ctF'M, on prolonge l’und’eux, par exemple FM, d’une quantité MK égale à FM , et ontire FK : la ligne MT, perpendiculaire à FK, sera la tangentedemandée. En effet, d’après la construction, le triangle KMFest isoscèle et l’angle KMT = TMF : or KMT = RMF' ; doncTMF = RMF'; donc RT est tangente.

On peut d’ailleurs s’assurer que cette droite a tousses points horsde l’ellipse, à l’exception du point M. En effet, pour tout autrepoint R, on aurait FR + RK > F'M + MK : or F'M+MK *= 2 a ;donc le point R est hors de l’ellipse (310).

332. Remarque. D’après la construction, il est évident que lepoint O, où MT rencontre FK, est le milieu de FK ; et comme lepoint A est le milieu de F'F, il s’ensuit que la droite AO est paral-lèle à FK et égale à ^F'K : or FK = 2a; donc AO = a.

Donc, si des foyers on abaisse des perpendiculaires sur les tan-gentes à l’ellipse , la distance despieds de ces perpendiculaires , aucentre de l'ellipse , est constante et égale au demi-grand axe : desorte que tous ces points ont pour lieu géométrique une circonfé-rence décrite sur le grand axe comme diamètre.

333. Supposons maintenant que le point donné T (Gg. 132) soitextérieur à l’ellipse. Si le problème était résolu, que TM fût latangente et M le point de contact, en menant par le foyer F' laligne F'MK égale au grand axe 2 a , et par le foyer F la ligne FK,la tangente TM serait perpendiculaire sur le milieu de FK, et l’onaurait TF = TK ; donc le point K sera déterminé par la rencontrede deux circonférences, l’une décrite du point F' avec le rayon 2 a,et l’autre, du point T avec le rayon T!’. Le point K étant connu,