258 DEUXIÈME PARTIE.

342. Dans chaque ellipse les angles des cordes supplémentairessont toujours compris entre certaines limites, et il en doit être demôme de ceux des diamètres conjugués. Pour déterminer ces limitesplus simplement, nous supposerons, et cela est permis (n° 339),que les cordes soient menées par les extrémités de l’axe BC(6g. 140). Alors on trouve facilement

tangMBx:

— -, tangMC-r— ^

et par suite

tangCMB:

x—a

y _ y_

x—a x-\-ax — a

x-j-a ’2 ay

: y'+ x‘-a‘

Mais le point M étant sur l’ellipse, on a d‘y-\-b^x i =■ a 7 ù\ d’oùx 1 — d‘ — -— ; donc

tangCMB = - ,

i a —b )y

Si BC est le grand axe, et que le point M soit situé au-dessusde cet axe, la valeur précédente sera négative, ce qui montreque l’angle CMB est obtus. Cette valeur, abstraction faite dusigne, atteint son minimum lorsque y = b ■. alors le point Mest en D à l’extrémité du second axe, et les cordes supplémen-taires sont BD et CD. L’angle obtus CDB est donc le plus grandangle, et son supplément BDK, le plus petit angle que puis-sent faire deux cordes supplémentaires. Pour l’angle maximumCDB, on a

tang CDB

— 2 aha‘—y‘

De part et d’autre du petit axe DE, il y a deux points M et N,pour lesquels y a la même valeur ; il y a donc aussi deux pointspour lesquels les actgles CMB, CNB, formés par des cordes supplé-mentaires, sont égaux entre eux. D’ailleurs, comme il n’y a quedeux points pour lesquels y ait une même valeur, il n’y a aussi,au-dessus de BC, que deux systèmes de cordes supplémentairesformant entre elles uns angle donné, iAinsi, on peut avoir deux systèmes de diamètres conjugués quise coupent sous un angle donné, et jamais davantage.