260 DEUXIÈME PARTIE.

diamètres conjugués, puisque chaque valeur de l’une des coordon-nées fera trouver pour l’autre deux valeurs égales et de signescontraires. Cette circonstance n’aurait plus lieu avec une autreforme d’équation ; donc on passera de l’équation [e] à l’équationaux diamètres conjugués, en cherchant, par la transformation descoordonnées, tous les systèmes d’axes pour lesquels l’équation del’ellipse conserve la même forme.

Prenons donc (190) les formules qui servent à passer des axesrectangulaires aux axes obliques, et supprimons-y les termesconstants, attendu que l’origine doit rester au centre de l’ellipse:on aura

x — a/cos z -|~y cos x’, y =a-'sin 2 -f-^'sinz',

Substituons ces valeurs dans [e], et en posant, pour abréger,

A —a* sin 2 a' -j- b 2 cos 2

Il = a? sin 2 a -{- 6 2 cos 2 a\-

C= a’sinasina'-f- i 2 COSa COSa',

il viendra

[t] A/ 2 -|-Bx'' 2 -f-2Cury=a 2 i 2 .

Afin que celte équation ne contienne x' et y' qu’au carre, ilfaut profiter de l’indétermination de a et de a' pour faire disparaîtrele rectangle x'y ’. Posons donc[2] a 2 sin a sin a -|- V cos a cos a = 0,

et l’équation [1] sera réduite à celle-ci[3] Ay n + Kx n = db\

346. L’ellipse est actuellement rapportée à des diamètres conju-gués. Si on veut connaître leurs longueurs FG, IIK(tig. 143), onfera successivement ^ =0 et x=0 dans cette équation. En dési-gnant AF par et Ail par b', on trouve

[4]

[5]

b'* =

a*b %

B “db 1 _A ~

a'h 1

a % sin 2 « -(- b* cos 2 a ’

d'h 1 _

d‘ sill 2 a -f- b‘ COS V

Par suite, en remplaçant A et B par leurs valeurs ,l’équation [3] devient

IXJ a'y’-j-fr'V*