GÉOMÉTRIE ANAI/VTIQOË A DEUX DIMENSIONS. 2GI

347. L’équation [2], étant divisée par <z 3 cos * cos devient

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tang a tang «'= —■ .

Or, il est clair qu’en donnant à l’axe kx‘ une position quelconque,ce qui revient à déterminer a , on pourra sur-le-champ assignerune valeur réelle à a ; donc chaque diamètre a son conjugué. Doplus, comme l’équation précédente est la mémo que celle qui lieentre elles les directions de deux cordes supplémentaires (338), ils’ensuit que si l’une de ces cordes est parallèle au premier dia-mètre, l’autre corde sera aussi parallèle au second diamètre. Ainsien général on peut dire que deux diamètres conjugués sont tou-jours parallèles à deux cordes supplémentaires ; et que, récipro- ^quement, deux diamètres parallèles à des cordes supplémentairessont toujours conjugués . Ces propriétés sont déjà connues (341).

348. Si on suppose sin*—0 et cos a' = 0, ce qui fait coïnciderles x 1 avec les x, et lesp--' avec les j-, l’équation [2] est satisfaite ; etcela doit être, puisque les axes de l’ellipse sont des diamètres con-jugués. Nous savons même qu’ils forment le seul système dediamètres conjugués rectangulaires qui existe dans l’ellipse (337);et c’est ce qu’on peut retrouver facilement. En effet, supposonsqu’il y eu ait d’autres : pour ces diamètres on devrait avoira = 90°-j- a, et par suite

sina'— sin(90*-(-“) ; = :: sin(90"— a) =cos*,COS'/= cos(90°-f-a) = — COS(90°— a) ç=— silla.

Ces valeurs étant substituées dans l’équation [2], on aurait

(zz 3 — b 3 ) sina COS«E=0;

et comme on ne peut pas disposer des quantités a et b, on ne peutsatisfaire à cette égalité qu’en faisant sina = 0 ou cos* = 0, sup-positions qui ramènent précisément aux deux axes primitifs.

Si l’ellipse se change en cercle, onaa = é, et la dernière éga-lité est vérifiée d’clle-même, quelle que soit la valeur de a j ainsi,dans le cercle tous les diamètres Conjugués sont rectangulaires.Dans l’ellipse, les axes seuls jouissent de cette propriété.

349. Si on demandait que les diamètres conjugués fussent égaux,on aurait, en égalant les valeurs de a 3 et de

a' sin 3 a -f- b' cos 3 «=a 3 sin 3 «'-f- 6 3 cos 3 a'.