GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 263

_ aW _

' a 2 b 2 (sinYcosY-J-cosY sinY)—2« 3 é 3 sin« sina cos « cos «a 2 b 2 cbl/

(sina COS a—sina*COSa') 3et de là on conclut

SiriV— a)--ab.

a!b'sm (<*'■—«) =

Or, l’angle d — a est celui que forment entre eux les diamètresconjugués FG, HK (fig. 145); donc, dans le parallélogrammeAFLH, la hauteur LI=é'sin(a'—«), et l’aire est exprimée para'Z/sin(«'— a) . Donc cette aire est constante et égale au rectangle abdes demi-axes, ce qui revient au théorème énoncé.

Théorème II. Dans Vellipse , la somme des carrés de deuxdiamètres conjugués est constante et égale à la somme des carrésdes deux axes.

Si on reprend les équations [2], [4], [5],

[ 2 ]

[4]

[5]

(C sin a sin d -f- b 1 COS a cos d c= 0,a 2 b 2

b' 2 =

a 3 sinY-f-/; 3 cos 3 a ’

2 7^2

a b

a 3 sin 3 a' -j-é 3 cos Y ’

et qu’on élimine entre elles les angles a. et on tombe sur l’équa-tion a! 2 -\-b' 2 = a 2 -\-b 2 , qui démontre le théorème énoncé.

Pour faire cette élimination, on tire d’abord de l’équation [4],combinée avec la relation sinY-|-cos 3 a=l, les valeurs de sin 3 aet cos 3 a : ces valeurs sont

sm a:

b 2 {a 2 —a' 2 )z' a (« 3 — à 3 )’

cosv.=

a* (a!’ —b 2 ) 'a' 2 (a 2 — à 3 )’

Comme l’équation [5] se déduit de l’équation [4] en changeantd en b' et « en a', on déduira sin 3 a' et cosY des valeurs précédentes,en y changeant a! en b'. On trouve ainsi

// (a 2 -b' 2 )

, COS a :

a 2 (b' 2 -b 2 )

b' 2 (a 3 — b 2 ) ’ b’ 2 {a 2 -b 2 )

Prenons maintenant l’équation [2], transposons le second termedans l’autre membre, puis élevons au carré •. il vient

=//cos 3 «cosY.