264 DEUXIÈME PARTIE.

Remplaçons les lignes trigonométriques par leurs valeurs : lesréductions sont faciles à apercevoir, et il vient successivement

a! 2 ) (û a — U 1 ) = (a' a — b*) (b' 2 —b 2 ),a i —a 2 a! 2 —a 2 b' 2 ==:—a.’ 2 b 2 — b' 2 b 2 -\-b\a‘ 2 —b i = a : 2 {a 2 —b 2 )^-b' 2 {a 2 ~-b 2 ),a 2 + b 2 =a' 2 + b' 2 . ’

Ce résultat est conforme à l’énoncé.

351. Les trois équations [2], [4], [5], suffisent pour détermi-ner trois des six quantités a, b, a\ b', «, a', lorsque les troisautres sont connues ; elles peuvent par conséquent servir à ré-soudre toutes les questions relatives aux diamètres conjugués.

Mais il sera souvent plus commode d’employer, au lieu de ceséquations, les suivantes, qui en ont été déduites,

, b 2

tanga tanga

•a!b' sin(a — a)=ab ,a! 2 + b' 2 = a 2 + b 2 .

352. Revenons à l’équation [e,], et, pour plus de simplicité,supprimons-y les accents de x' et de y' ■■ on a

[e,]

Cette équation étant absolument de même forme que celle qui estrelative aux axes, toutes les propriétés indépendantes de l’incli-naison des ordonnées seront communes aux axes de l’ellipse et àses diamètres conjugués. Ainsi on peut regarder les propositionssuivantes comme démontrées.

1° Selon qu’un point est situé sur l’ellipse, ou hors de l’ellipse,ou au dedans, la quantité a' 2 y 2 -\-b' 2 x 2 —■ a' 2 b' 2 sera nulle, positive,ou négative (302).

2° Les carrés des ordonnées, parallèles à un diamètre, sont pro-portionnels aux produits des segments qu’elles forment sur sonconjugué (301).

3° Désignons par a le rapport de sinus, égal au coefficient de xdans l’équation y = ox-\- S : on aura (319), pour la valeur de «qui convient à la tengente menée à l’ellipse, au point dont lescoordonnées sont x' et r',

5'V