GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 267

(PM-fP'M') XPP'. Ces deux trapèzes seront donc entre eux: : PN -j-P'N' • PM-f-P'M'. Or, PN : PM : : P'N' : P'M' ::b:a ; donc

PN-f- P'N' : PM+P'M' : : b : a.

Les trapèzes correspondants étant entre eux dans le rapport con-stant de b à a, les aires des polygones seront aussi dans le mêmerapport ; et cela, quel que soit le nombre des côtés de ces poly-gones. Donc, ce rapport sera encore celui de leurs limites; donc,en nommant E et E' les aires de l’ellipse et du cercle, on a

E _b_ mE' a

c’est-à-dire que l’airo de l’ellipse esta celle du cercle, décrit surl’un des axes, comme l’autre axe est à celui-ci.

Eu désignant par v le rapport de la circonférence au diamètre,l’aire du cercle est w 1 , et par suite celle dJTellipse est

E = r.ab;

donc faire de l'ellipse est égale à celle d'un cercle, dont le rayonest moyen proportionnel entre les demi-axes de l'ellipse.

356. Si a! et b ' sont deux demi-diamètres conjugués formant unangle 7 , on sait (350) que ab — db' siny : on a donc aussi, pourl’aire de l’ellipse en fonction des diamètres conjugués,

E=Tr#'£'sin7.

357. Si, au lieu de l’ellipse entière, on ne considère qu’un seg-ment PP'N'N, compris entre deux ordonnées perpendiculaires àl’axe BC, et qu’on fasse un raisonnement semblable à celui qui aété fait pour l’ellipse entière, on trouvera en désignant par S lesegment d’ellipse, et par S'le segment correspondant du cercle,

S ô c ô 1

—=- dou S=-S.

S a a

La quadrature du premier segment se ramène ainsi à celle du se-cond, laquelle est connue par la géométrie.

358. Supposons qu’il s’agisse d’un segment d’ellipse, comprisentre un diamètre quelconque BC (fig. 140) et deux ordonnéesPN, P'N', parallèles à son conjugué. On décrira un cercle surBC comme diamètre ; on inscrira dans le segment d’ellipse uneportion de polygone NRR'N' ; puis, ayant mené les ordonnéesRS, R'S',... parallèles à NP, on éleycra sur BC les perpendieu-