270 DEUXIÈME PARTIE.

Soit — = a : on tire de là m = - , et la substitution de cettem a

valeur change l’équation [2] en

[A] ay — b’x'= — fl’i’.

L’axe BC, égal à 2 a , est ordinairement nommé premier axe ouaxe transverse ; et quoique l’axe des .y ne rencontre pas l’hyper-bole, on n’en porte pas moins sur cet axe les distances AD, AE,égales à b , et l’intervalle DE ou 2 b est ce qu’on est convenu deprendre pour longueur du second axe . Les extrémités du premieraxe sont les sommets de l’hyperbole.

Pour mettre l’origine au sommet B, il faut changer x en x-f a,et alors on peut donner à l’équation de l’hyperbole la forme

[/*'] y=^{2ax+^).

Lorsque b = a , les équations [h] et [A'] deviennenty — x 1 — — a' et y — 2ax -(- x 1 :on dit alors que l’hyperbole est èquilatere. Elle est parmi les hyper-boles ordinaires ce qu’est le cercle parmi les ellipses.

361. En résolvant l’équation [A], on a

- y =±-l/x 2 —a\

a

Tant que x est moindre que a, y est imaginaire; x=AB = <zdonne .y = 0; x augmentant jusqu’à -|- oc, y a deux valeurs réel-les et de signes contraires, qui augmentent jusqu’à l’infini. Lesvaleurs positives de x déterminent donc une branche de courbetelle que RBS, qui s’étend à l’infini dans le sens de Ax, symétri-quement au-dessus et au-dessous de cet axe. Les valeurs négativesde x donneront une branche R'CS' tout à fait semblable, de l’autrecôté de l’axe Ay : car, x changeant seulement de signe, les valeursde .y demeurent les mômes. Il est clair d’ailleurs que les deuxbranches qui composent l’hyperbole présentent leur convexité àl’axe des .y • autrement, on pourrait mener une droite qui coupe-rait cette courbe du second ordre en plus de deux points, ce quiest impossible.

362. MP étant une ordonnée quelconque de l’hyperbole, letriangle rectangle AMP donne

AM —V x‘-j-y 1 = y/ x' -f ~ (x’—a a ) x’—A’.