GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 271

L’abscisso x pouvant croître jusqu’à l’infini, AM peut croîtreaussi jusqu’à l’infini. Mais, dans l’hyperbole, la plus petite valeurde x est a ; le minimum de AM sera donc AB = a. Ainsi, le demi-axe transserse est la ligne la plus courte que l’on puisse menerentre l’hyperbole et son centre.

363. L’équation [A] donne

y =4 (-r 3 —,fl a ) = 4 [x—a) (j:-j -a)ia a

or, i y=MP, x —<z=BP, x-\-a= CP; doncMP 2 =^ XBPxCP.

Pour toute autre ordonnée M'F on aurait une semblable relation ;par conséquent

MF BP X CPi

M'F 1 BP' X CF

Donc les carrés des ordonnées , perpendiculaires au premier axede l’hyperbole , sont comme les produits des distances comprisesentre les extrémités de cet axe et les pieds des ordonnées.

364. Pour chaque point appartenant à l’hyperbole on doit avoir— b'x* 4 -a* b* — 0. Si on considère un point N situé entre les

deux branches, et que, perpendiculairement à A y, on mène QNdont le prolongement rencontre l’hyperbole en M, il est évidentque l’abscisse du point N sera moindre que celle du point M, et quel’ordonnée sera la même ; donc la quantité «y — ÿf qui

est nulle pour le point M, doit être positive pour le point N. Unraisonnement semblable montre qu’elle doit être négative pourun point N' situé dans l’une ou dans l’autre branche. Ainsi, on atoujours

«V — tfx 1 -{-d'h 1 = 0 sur l’hyperbole, j

«y— •b' 1 x‘-\-d‘b t ^> 0 hors de l’hyperbole,

«y — b'jt? <0 dans l’hyperbole. -

365. Si on rapproche l’une de l’autre les équations

ay + ô’jc’= <**&’, ay — l?x? = —t?b',

dont l’une représente une ellipse, et l’autre une hyperbole, onvoit que, pour passer de la première à la seconde, il suffit dechanger b 1 en — b 2 ou b en b ÿ—1. Cette remarque peutêtre sou-vent utile pour faire pressentir les propriétés de l’hyperbole quiont quelque analogie avec celles de l’ellipse.