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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

367. Pour avoir les rayons vecteurs FM et F'M , faisonsAF=l /a 1 -\-U 1 =c, et subsliluons au lieu de a.', dans la valeurde 5% d’abord -J-c et ensuite — c. Nous trouverons, en remarquantquec"— V—a?,

FM' = -^-~ — 2cx4- a\ F'M" = 2cx-j-«’ ;

a a

et par suite, on aura

m=±(^«), FH=±(îf+4

Les rayons vecteurs doivent être essentiellement positifs. Or, tantque le point I\I reste situé sur la branche placée du côté des xCx

positifs, le terme — est positif et > a-, donc alors il faut prendre

les signes supérieurs. Mais ce terme sera négatif, et toujours ><z,si le point M est sur l’autre branche; donc alors il faut prendre lessignes inférieurs pour que FM et F'M soient positifs.

3C8. Ces distances étant retranchées l’une de l’autre, on trouveF'M—FM=2 æ pour la première branche, et FM—FM=2apour la seconde; donc, dans l'hyperbole , la différence des rayonsvecteurs est contante et égale au premier axe.

Pour un point N (fig. 152) situé hors de l’hyperbole, on aF'N — FN<2o. En effet, soit M l’intersection de FN et de lacourbe, on a F'N<Fx\I-|-NM; retranchant d’une part FN,et del’autre, son égal NM-J-MF, il vient F'N—FN <FM—MF ;or FM—MF = 2tf ; donc F'N — FN <?-2a. On a supposé que lepoint N était à droite du second axe; s’il était à gauche, ce se-rait FN — FN qui serait moindre que 2 a.

Pour un point N' intérieur à l’une des branches, on doit avoirF'N' — FN')>2a. En effet, on a évidemment FN' <FM-f-MN',et FN' = FM-)-MJN' ; donc par la soustraction il viendraF'N' —FN'>FM—FM ou FN' — FN' > 2a.

Ainsi, selon qu’un point est sur l’hyperbole ou au dehors , ouau dedans, la différence des rayons vecteurs est égale au premieraxe, ou moindre que cet axe, ou plus grande.

369. Il est facile maintenant de décrire une hyperbole dont onconnaît l’axe transverse BC (fig. 152) et les foyers F et F. l)u foyerF, avec un rayon quelconque BK, on décrit une circonférencede cercle; et de l’autre foyer F , ayec CB-{- 13JA pour rayon, on

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