280 DEUXIÈME PARTIE.
du contre A : et il ne passe jamais de l’autre côté, car AS est demôme signe que x' . Il y a plus: lorsqu’on donne à x' sa valeurminimum, x' = a , AS atteint aussi son minimum ; et de là onconclut que le pied de la normale ne dépasse jamais un certain
point N pour lequel on a AN—
CL
383. Dans l’hyperbole , les rayons vecteurs menés au point detangence f ont avec la tangente , et de différents côtés de cette ligne ,des angles égaux;
C’est-à-dire (fig. 156) que les angles FMT, FMT, sont égaux.La démonstration étant la môme que pour l’ellipse, je laisse aulecteur le soin de la développer.
381. D’après cette propriété, si on veut (fig. 157) tracer unetangente à Ihyperbole, par un point M pris sur cette courbe, onmène les rayons vecteurs FM, F'M, on prend sur l’un d’euxMK = FM, on tire KF, et on abaisse MO perpendiculaire à KF ;la ligne MO est la tengente. En effet, d’après la construction, letriangle MKF est isoscèle, et la perpendiculaire MO divise l’angleF'MF en parties égales.
On peut d’ailleurss’assurer qu’en effet cette ligne a tous ses pointshors de l’hyperbole, à l’exception du point M : car, pour toutautre point, R, par exemple, on a RF — RK <F'K ; or RK = RFet F'K = 2<z ; donc RF' — RF < 2 a ; donc le point R est hors del’hyperbole (368).
385. Remarque. Le point O étant le milieu de FK et le centreA étant le milieu de F'F, la droite AO est parallèle à F'K et égale à(FK : or F'K=2«; donc AO —a.
Donc, si des foyers de l’hyperbole on abaisse des perpendicu-laires sur les tangentes à cette courbe, la distance clés pieds de cesperpendiculaires au centre est constante et égale au. demi-axetransverse : de sorte que ces points ont pour lieu géométrique lacirconférence décrite sur cet axe comme diamètre.
386. Supposons maintenant qu’on veuille mener une tangente àl’hyperbole par un point extérieur T (fig. 158). Soit TR la tangentecherchée et M le point de contact ; si on mène les rayons vecteursFM et FM, qu’on prenne FK = 2 a, et qu’on tire KF, la tan-gente TM doit être perpendiculaire sur le milieu de KF; doncTK—TF; donc le point K sera déterminé par la rencontre ducercle décrit du foyer F' avec un rayon éeral à 2 a. et du cercle décrit