288

DEUXIÈME PARTIE.

parallèle au second diamètre. On retombe ainsi sur ces propriétésdéjà connues (294) : que deux diamètres conjugués sont parallèlesà deux cordes supplémentaires ; et réciproquement, que deux dia-mètres parallèles à des cordes supplémentaires sont des diamètresconjugfès.

Dans l’hyperbole équilatère b— a; donc tang « tang «' = 1 ; doncles angles.?, et d sont compléments l’un de l’autre.

398. Pour connaître s’il y a d’autres diamètres conjugués rec-tangulaires que les deux axes, faisons « =90°-)-a, ce qui donnesin a = cos a et cos d ——sin a. L’équation [2] devient

(a 1 -)- b 2 ) sinacos® = 0 j

et celle-ci ne peut se vérifier qu’en faisant sina=0 ou cos a = 0 ,suppositions qui ramènent aux axes primitifs.

399. Si on voulait que les diamètres conjugués de l’hyperbolefussent égaux, on égalerait entre elles les valeurs de a' 2 et de b' 2 ,et on aurait

sia’

En remplaçantéquation donne

[7]

:— b 2 cos 2 a = — a 2 sin 2 d -f- b 2 cos 2 d.

2 a par 1 — sin 2 «, et cos 2 « par 1 — sin 1 a', cette

sin 5 a -f

sin’a' =

2 b 2

a 2 -\-b 2 ‘

Si on transpose le second terme de l’équation [2] dans l’autremembre, qu’on élève le tout au carré, et qu’alors on fasse lesmêmes substitutions que ci-dessus, on trouve facilement

b' 1

[8] sin 1 a sin 2 a' = - —-■.

Du carré de l’équation [7] retranchons quatre fois celle-ci, il vient(sin 2 a—sin 2 d) 2 — 0; donc

sinV=sin 2 a , cos 2 a'=cos 2 a, tang d=± tang?.

Mais l’équation [6] prouve que les deux tangentes doivent être demême signe; donc tang d = tang a, et par suite l’équation [6]donne

tanga — tang? =dt -.

d

Ainsi, dans l’hyperbole, le calcul indique, pour diamètres conju-gués égaux, deux droites réunies en une seule, et dirigées suivantl’une ou l’autre des diagonales du rectangle construit sur les axes.