GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 289

400. Dans l’hyperbole il y a deux théorèmes tout à fait analoguesà ceux du n° 350 ; et comme ils se démontrent de la même manière,je me bornerai à les énoncer.

Théorème I. Le parallélogramme construit sur deux diamètresconjugués est équivalent au rectangle des axes.

Théorème II. La différence des carrés des diamètres conjuguésest égale à la différence des carrés des axes.

401. De ce qui précède il suit que, dans les problèmes relatifs àl’hyperbole, on pourra, si cela paraît plus commode, substituer, auxéquations [2], [4] et [5], celles-ci qui en sont déduites :

, b 2

tanga tanga = —.

a'b' sin(a'— u) = ab,a' 2 — b' 2 —a 3 — A\

La dernière montre que si a = b , on a aussi a' = b' ; donc, dansl’hyperbole équilatère, les diamètres conjugués sont égaux. Cettepropriété a lieu dans le cercle ; mais les diamètres conjugués y sontrectangulaires, tandis que, dans l’hyperbole équilatère, ils font avecl’axe transyerse des angles compléments l’un de l’autre.

Dans les hyperboles ordinaires, a étant différent de b, a! nesaurait être égal à b', et il n’y a pas, à proprement parler, de dia-mètres conjugués égaux.

402. En ôtant les accents des variables x' ety, l’équation [A ]sera

[A,] a'Y — b' 1 x‘=—a! , b'\

Elle est toute semblable à l’équation [A] relative aux axes ; doncles propriétés indépendantes de l’inclinaison des ordonnées serontcommunes aux axes de l’hyperbole et à scs diamètres conjugués.Ainsi :

1° Les carrés des ordonnées, parallèles au second diamètre,sont entre eux comme les produits des segments formés sur lepremier (363).

2° Selon qu’un point donné est situé sur l’hyperbole, ou audehors ou au dedans, la quantité a'Y — b' 2 x 2 - j- a 2 b' 1 sera nulle,positive ou négative (364).

3* En désignant par a le rapport de sinus, égal au coefficientde x dans l’équation générale de la ligne droite, on aura pour lavaleur de a, relative à la tangente (374),

19