292 DEUXIÈME PARTIE.
pour les portions d’hyperbole comprises dans les autres angles, eton conclut que les deux droites dont il s’agit sont en effet les asymp-totes de l’hyperbole.
406. Si on construit sur les diamètres conjugués|(fig.l70) un paral-lélogramme IlKIl'K', les équations des diagonales 1IH' et KK' sont
donc les asymptotes de l’hyperbole coïncident avec les diagonalesdu parallélogramme formé sur deux diamètres conjugués quel-conques.
En rapprochant cette conséquence du n" 402, on voit que lesasymptotes peuvent être aussi considérées comme limites destangentes.
407. Les côtés HK, II'K', menés par les extrémités du premierdiamètre BC, sont tangents à l’hyperbole, et divisés en parties égalesaux points B et C, dé sorte qu’on a BH = BK = b' ; donc, en ter-minant la tangente aux points ou elle rencontre les asymptotes ,on peut dire qu’elle est divisée en deux parties égales par le pointde contact, et quelle est égale et parallèle au diamètre conjuguéde celui qui aboutit à ce point.
Il suit de là qu’on peut facilement mener la tangente en un pointB de l’hyperbole, lorsqu’on connaît les asymptotes. En effet, si onmène BQ parallèle à l’une d’elles, à AH par exemple, qu’on prenneQK = AQ, et qu’on mène la droite KBH, elle sera la tangentecherchée : car, à cause des parallèles BQ et A1I, on a BII = BK.
Il est facile aussi, quand on donne un diamètre qui rencontrela courbe, de trouver son conjugué : car, ayant mené la tangente IIKpar l’une des extrémités de ce diamètre, il suffira de mener ladroite DE parallèle à IIK, et de prendre AD=AE=BII.
408. La propriété de la tangente n’est qu’un cas particulier de cethéorème général : les portions d’une sécante quelconque , com-prises entre l'hyperbole et ses asymptotes, sont égales entre elles.
Il s’agit donc de démontrer que M'N'=MN (flg. 171). Par lemilieu P de MM' et par le centre A, menons le diamètre Ax , etsupposons qu’il rencontre l’hyperbole au point B : son conjugué A ysera parallèle à MM'. Or, si par le point B cm mène, entre les asymp-totes, la droite IIK parallèle à Ay, on doit avoir BII = BK ; donc Axdivise eu parties égales toutes les droites parallèles à IIK, comprises