GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 293

cnlrclcsasymptotcs; doncNP=N'P; doncNP—MP=N'P—M'P ;donc MN=M'N'.

La démonstration ne serait pas plus difficile, si le diamètre Arne rencontrait pas l’hyperbole.

On a maintenant un nouveau moyen très-simple de décrire unehyperbole, quand on en connaît un point M ainsi que la positiondes asymptotes. On mène de ce point une droite quelconque NMN',qu’on termine aux asymptotes ; et en portant KM de K' en M'lepoint M'appartient à la courbe. En répétant cette construction,on trouve autant de points qu’on veut.

Pour le tracé, il est commode de ne pas mener toutes les lignespar un seul point M, et de faire servir à cet usage quelques-uns deceux qu’on détermine. On évite ainsi la confusion qui résulteraitd’un grand nombre de lignes passant par un même point.

On peut employer cette construction quand on connaît la grandeuret l’angle de deux diamètres conjugués; car alors on connaît deuxpoints de l’hyperbole, et il est facile de déterminer les asymptotes.

409. En désignant par a et b les demi-diamètres conjugués AB etAD (Gg. 171), l’équation de l’hyperbole rapportée à ces deux dia-mètres est

ay—b*x> = —a'b t ,et celle de l’asymptote AH est

b

En nommant y et Y les ordonnées de la courbe et de la droite, quirépondent à la même abscisse AP, on a

T-y =

a 2 ) —b 2 :

mais Y — y =MN, et Y -\-y = PM -f- PN=PM -f - PN'=MK” ; donc,pour les parties MN ot MN' de la sécante NN', on a

MN X MN'= Y 5 —y 2 — b 2 .

Si la sécante était parallèle au diamètre 2<z, on ferait voir sembla-blement que

MY X MV' = a 2 .

Donc, lorsqu'une sécante à l’hyperbole est parallèle à un diamètre,le rectangle desparties de cette sécante, comprises entre un point dela courbe et les asymptotes, est égal au carré du demi-diamètre.