DEUXIÈME PARTIE.

294

De là résulte un moyen de trouver deux 'diamètres conjugués,quand on connaît la direction de l’un d’eux Ay, les asymptotes etun point de la courbe. Par le point connu M, on mène, entre lesasymptotes, NMN' parallèle à Ay ; et le demi-diamètre AD seramoyen proportionnel entre MN et MA'. Connaissant AD, on mèneAx par le centre A et par le milieu P de NN' ; on mène aussi, pa-rallèlement à Ax la ligne DH qui coupe l’asymptote en H ; enfin onmène, parallèlement à AD, la droite IIB, qu’on termine à Axen B -. AB sera le demi-diamètre conjugué de AD.

La même propriété sert encore à trouver les axes quand on adeux diamètres conjugués : car alors on connaît un point de l’hy-perbole, on peut tracer les asymptotes et avoir la direction des axesen divisant en parties égales les angles des asymptotes. Le restes’achève facilement.

410. Les droites BQ, BR (fig. 170), étant menées parallèles auxasymptotes, le triangle ABR est égal à ABQ : mais les trianglesABQ et BQK sont équivalents puisque AQ = QK ; donc le parallélo-gramme AQBR est équivalent au triangle ABK. Or, ce triangle estla huitième partie du parallélogramme IIKH'K', dont l’aire est con-stante quelle que soit la position du point B (400) ; donc l’aire duparallélogramme formé par les asymptotes de l’hyperbole et parles parallèles menées , à ces lignes , d’un point quelconque de lacourbe , est constante , et égale à la huitième partie du rectangledes axes ou du parallélogramme construit sur deux diamètresconjugués.

L’hyperbole rapportée à ses asymptotes.

411. Si on prend l’asymptote inférieure (fig. 172) pour la lignedes x, et l’asymptote supérieure pour celle des y ; si par un pointquelconque de l’hyperbole on mène les coordonnées MP, MQ, etsi on désigne par (3 l’angle des asymptotes, l’aire du parallélo-gramme APMQ sera exprimée par xy sin|3. Cette aire doit êtreconstante et égale à la huitième partie du rectangle des axes;donc si ces axes sont donnés et qu’on les représente par 2 a et 2b ,l’équation de l’hyperbole, rapportée à ses asymptotes, sera

• xy sin p

ab2 ’

OU

xy

ab

2sini’

On peut exprimer sin [3 au moyen de a et de b. Elevons à l’extré-mité du premier axe la perpendiculaire EH terminée à l’asymptote