300 DEUXIÈME PARTIE.

on fait n — oc ; donc E = e. Ainsi, c’est le nombre cqui est la basedu système dans lequel il faut prendre les logarithmes des abs-cisses AP, pour avoir les aires hyperboliques telles que BCPjYI.

Ces logarithmes sont ceux que Néper , inventeur des logarithmes,calcula d'abord, et on leur donne le nom de Népériens. Je les in-diquerai par la lettre 1, et en conséquence j’écriraiaire BCPM — \x.

Cette formule donne aussi les aires qui répondent aux abscisses<AC, pourvu qu’on regarde comme négatives les aires tellesque BCQN, qui sont placées à gauche de BC. En effet, si onmène BG et NII perpendiculaires sur A y , on aura BGI1N = \y :car tout est semblable pour chaque asymptote. Or,

BCQN=BC AG + BGHN—NQ AII,et, à cause de xy — 1, on a BCAG=NQAH=1 ; donc

BCQN=BGI1N=J y—1 - =—br.

.i x

A'

417. Jusqu’ici l’on a considéré que l’hyperbole équilatère don-née par l’équation xy— 1. Maintenant supposons plus générale-ment que les asymptotes fassent entre elles un angle ykx—$(fig. 176), et qu’on ait l’équation

xy — rri .

Menons ky' perpendiculaire sur kx, et convenons qu’on aitdécrit sur les axes rectangulaires kx et ky l’hyperbole équilatèrequi a pour équation xy — 1. Si on prend AC= 1 et AP=.r, si onmène les ordonnées correspondantes des deux hyperboles, et si ondésigne par S et s les surfaces BCPM, B'CPM', il sera facile dedémontrer, par un raisonnement semblable à celui du n° 358, que

S m’sinS „ , _ , . , .

— =-, dou S=»rsiupXl' : P"

s 1

On peut, si l'on veut, considérer l’aire S comme étant elle-même le logarithme de x; mais il faut prendre alors les logarith-mes dans un système qui aurait pour module /«’sin,? (c’est ainsiqu’on nomme la quantité constante par laquelle il faut multiplierles logarithmes népériens pour les transporter dans un autresystème).