GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

301

CHAPITRE XI.

DE LA PARABOLE.

La parabole rapportée à son axe, etc.

418. Ou a vu (267) qu’un choix convenable de coordonnées rec-tangulaires ramène l’équation d’une parabole à la forme

l>] y*—2px.

De plus, on pourra supposer p positif : car si on avait y- = — 2px,il n’y aurait qu’à changer le sens des x positifs pour changer cetteéquation en y 7 ~2px.

Cette forme d’équation montre sur-le-champ que l’origine est unpoint de la courbe: car en faisant x=0, on a y— 0. Elle montreencore que la ligne des x est un axe de la courbe, puisque chaqueabscisse donne pour l’ordonnée deux valeurs égales et de signescontraires, et que d’ailleurs les coordonnées sont rectangulaires.Cet axe est le seul qui existe dans la parabole (445).

419. L’équation [p] donnant

y —±[/2px ,

on voit que la courbe ne s’étend pas vers les x négatifs ; car x né-gatif rend y imaginaire. Mais, si x croît depuis 0 jusqu’à 4- -x , ycroît aussi jusqu’à ±co ; donc la parabole s’étend à partir ae l’ori-gine jusqu’à l’infini, symétriquement au-dessus et au-dessous del’axe des x. Elle doit d’ailleurs être toujours concave vers cet axe,ainsi que le représente la figure 177 : autrement, on pourrait la cou-per en plus de deux points par une droite, ce qui est impossible.

La parabole n’a qu’un seul sommet.- c’est le point A où elle estrencontrée par son axe. Le coefficient de x dans l’équation [y>]par lequel une parabole diffère d’une autre parabole, se nommele paramétré.

420. Le rapport du carré de l’ordonnée à l’abscisse étant con-stant d’après l’équation mémo, il s’ensuit que dans la paraboleles carrés des ordonnées , perpendiculaires sur l’axe, sont entreeux comme les distances du sommet aux pieds de ces ordonnées.