DEUXIÈME PARTIS.

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421. Pour chaque point de la parabole on a y 2 —2/?.r=0. Si onconsidère un point extérieur K, et qu’on mène sur Ay la perpen-diculaire QK dont le prolongement rencontre la parabole en M,l’abscisse du point K sera moindre que celle du point M, et l’or-donnée sera la môme; donc au point K on devra avoir y* —2/jx> 0.Un raisonnement semblable montre que pour un point intérieur R'on a y* —2/u: <0. Ainsi on a toujours

y 1 — c 2 px —0 sur la parabole,y 2 —2px^>0 hors de la parabole,y 2 — 2px<^0 dans la parabole.

422. On peut décrire très-simplement la parabole. Soit (fig. 177)AP une abscisse quelconque, on porte sur l’axe A x, à gauche dusommet, une distance AB égale au paramètre 2 p ; on décrit sur BP,comme diamètre, une circonférence qui coupe au point R la per-pendiculaire A y ; enfin on élève l’ordonnée PN, qu’on termine à ladroite RN parallèle à Ax ■. le point N appartient à la parabole.En effet, par cette construction, PN=AR et AR 3 =AB X AP;donc PN 2 = 2/> X AP.

423. On a vu (260) que dans le cas de la parabole les coordon-nées du centre sont infinies. Cela conduit à considérer cette courbecomme une ellipse infiniment allongée ; et cette analogie pouvantêtre utile pour prévoir avec facilité les propriétés de la parabole,il importe de la vérifier. Prenons (296) l’équation

b 2

O'] y= — {2ax—x 2 ),

dans laquelle l’origine est au sommet A de l ’ellipse (fig. 178). Ladistance OF, du centre au foyer, est l/à 2 — b* ; et en la retranchantde a on a AF=æ—|/V— b\ Introduisons cette quantité dansl’équation de l’ellipse , comme constante que nous prendrons égaleà \p : on aura

a —1 /a 2 —b 2 = lp, d’où b 2 =ap — \p 2 -,et, par la substitution de celte valeur, l’équation [e'] devient

f — - P —~ ~ (2 ax—x 2 ),

ou, en développant convenablement le second membre,

px{p- j-2x) p 2 x 2