GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 30S
Si dans cette équation on donne successivement à a différentes va-leurs, p restant constant, on aura une suite d’ellipses dont lesgrands axes seront différents, mais dont le sommet A et le foyer Fconserveront la même position. Or, en augmentant le grand axejusqu’à l’infini, il faut supprimer les termes qui contiennent a endiviseur ; la dernière équation se change donc en celle-ci,
y=2px,
qui est précisément celle de la parabole. Ainsi on peut prendre asi grand que la différence entre l’ordonnée de l’ellipse et celle dela parabole soit aussi petite qu’on voudra, ce qui revient à dire quela parabole est une ellipse dont le grand axe est iiifini.
Du foyer et de la directrice.
424. Les coordonnées étant rectangulaires, et l’équation de laparabole étant y* = 2 px, on-nomme foyer le point dont t la di-stance à un point quelconque de la parabole est une fonctionrationnelle de l’abscisse de ce point.
Considérons (fig. 178) la suite des ellipses qui ont un sommet Aet un foyer F communs, la distance de ce foyer à un point quelcon-que de chacune de ces courbes est une fonction rationnelle del’abscisse OP comptée à partir du centre ; elle est donc aussi' unefonction rationnelle de l’abscisse AP comptée à partir du sommet ;car OP = AP—AO. Or, la parabole est la limite de ces ellipses ;donc la distance du point F à chaque point de cette courbe est en-core une fonction rationnelle de l’abscisse de ce point. D’ailleurs,AF étant représenté par '-,p , le paramètre de la parabole est égalà 2 p ; donc cette courbe a pour foyer un point situé sur son axe, àune distance du sommet égale au quart du paramètre.
425. Dans l’ellipse, la somme des rayons vecteurs, menés desfoyers à un même point de cette courbe, est égale au grand axe ;cherchons la propriété correspondante dans la parabole.
Soit une ellipse (fig. 178) dont le grand axe est AA', et dont lesfoyers sont F et F'. Décriyons du point F' comme centre, avec AA'pour rayon, une circonférence IIBII'; elle coupera l’axe en unpoint B aune distance AB=AF. Menons deux rayons vecteursFN, F'N, à un point quelconque de l’ellipse, et prolongeons F'Njusqu’à sa rencontre K avec la circonférence ; on aura évidemmentFJM = K K. Maintenant supposons que l’ellipse conserve toujours