304 DEUXIÈME PARTIE.

le sommet A et le foyer F, mais que son grand axe augmente jus-qu’à devenir infini. A cette limite, l’ellipse devient une parabole,la circonférence HH' se change en une droite LL' perpendiculaireà l’axe au point B, et la ligne NK devient perpendiculaire à LL',sans cesser d’être égale au rayon vecteur NF. La perpendiculaireLL', qui passe à une distance du sommet égale à AF ou au quartdu paramètre, porte le nom de directrice. On a donc ce théorème :Chacun des points de la parabole est également éloigné dufoyeret de la directrice.

11 est d’ailleurs facile de reconnaître qu’à la limite a=oo, l’unedes directrices de l’ellipse devient LL'. En effet, d’après le n° 315,c et d étant les distances du centre aux foyers et aux directrices,on doit avoir cd—a ’. Nommons d! la distance du sommet A à ladirectrice voisine, on aura c=a — \p, d—a-^d', et par suite[a—f) (a-{-d') — a\ d’où

d _ l m _ P2a —P 2 _P

a

Or, en faisant a — oo, il vient d'= \p, ce qui donne la ligne LL'.

426. Pour trouver directement le foyer de la parabole, onapplique à la définition les calculs déjà faits pour l’ellipse etpour l’hyperbole. Désignons par a/, y', les coordonnées du foyerinconnu ; par x, y, celles d’un point quelconque de la parabole, etpar S la distance de ces deux points : on aura

3 2 = (x—x') 3 -j- [y — y?— a? 3 — 2x'x+x' 3 + y 2 —2 \y'y +y'\

L’équation de la parabole donne y — V 2 px ; donc, pour que S 2 soitune fonction rationnelle de x, il faut faire./=0. Cette suppositiondonne

â 3 = x 2 — 2x'x-j-x' 3 + 2/?x:=x J -|-2{^—x'Jx-f-x' 3 .

Il ne suffit pas que J 3 soit une fonction rationnelle de x, il fautque S lui même en soit une : cette condition exige qu’on ait

(p — x') 3 = x' 3 , d’où td — \p;

donc dans la parabole il n’existe qu’un foyer, lequel est situé surl’axe à une distance du sommet égale au quart du paramètre.

427. En mettant \p au lieu de x', il vient